Нарисуйте ряд из 13 кружочков, каждый из которых либо красный, либо синий, либо зелёный. Причём из любых трёх идущих подряд кружочков должен быть хотя бы один красный, из любых пяти идущих подряд кружочков должен быть хотя бы один синий, а зелёных должно быть больше половины. Сколько синих у Вас получилось?

Данное уравнение не содержит самой неизвестной функции y(x), поэтому можно понизить порядок уравнения. Пусть y'(x)=z(x)⇒y''(x)=z'(x) и уравнение примет вид (1+4*x³)*z'=12*x²*z. Разделив обе части на 1+4*x³, получаем уравнение z'=dz/dx=12*x²*z/(1+4*x³). Умножая обе части на dx и разделив на z, приходим к уравнению dz/z=12*x²*dx/(1+4*x³). А так как d(1+4*x³)=12*x²*dx, то это уравнение можно записать в виде dz/z=d(1+4*x³)/(1+4*x³). Интегрируя обе части, получаем ln/z/=ln/1+4*x³/+lnC1, где C1>0 - произвольная постоянная. Отсюда ln/z/=ln/C1*(1+4*x³)/, z(x)=C1*(1+4*x³) и мы приходим к уравнению y'=dy/dx=C1*(1+4*x³). Умножая на dx, получаем dy=C1*(1+4*x³)*dx. Интегрируя обе части, получаем y(x)=C1*x+C1*x⁴+C2. Проверка: y'(x)=C1+4*C1*x³, y''(x)=12*C1*x², (1+4*x³)*y''-12*x²*y'=12*C1*x²*(1+4*x³)-12*x²*C1*(1+4*x³)=0 - решение найдено верно. ответ: y(x)=C1*x*(1+x³)+C2.   

Теорема Виета:
ах²  + bx + c  = 0
х₁  +  х₂ =  -b/a
x₁   × x₂  = c/a

3x² + bx + 4 = 0
x₁ = 4
Система уравнений:
{  4 + x₂  =-b/3      ⇔ { 3(4+x₂) = - b    ⇔ {b = - 3(4 +x₂)     
{  4x₂ = 4/3           ⇔ { x₂ = (4/3) :  4    ⇔ { x₂ = (4/3)  *  (1/4 )

{b = - 3x₂ - 12      ⇔  { b = -3 * (1/3)  - 12  ⇔ { b = - 1 - 12
{x₂ = 1/3               ⇔  {x₂ = 1/3                   ⇔ { x₂ = 1/3

{b = - 13
{x₂ = 1/3


Подставим значение х₁ = 4  в  уравнение 3х² + bx + 4 =0
3 *(4)² + b*4  + 4  = 0
3 * 16  + 4b + 4  = 0
4b + 52  = 0
4b = - 52
b = - 52 : 4
b = -13
Подставим значение b=13 в уравнение  и решим его.
3х²  - 13x  + 4 = 0
D = (-13)²  - 4*3*4 = 169 -48 = 121 = 11²
D> 0  -  два корня уравнения
х₁ = ( - (-13) + 11)/(2*3) = (13+11)/6 = 24/6 = 4
х₂ = ( - (-13)  - 11)/(2*3) = (13-11)/6 = 2/6  = 1/3

ответ : b = - 13 ;  х₂ = 1/3  .