Натуральное число n является произведением 2k простых чисел p1,p2...p2k в каких-то степенях. Может ли?

Пусть Обращаю Ваше внимание, что я не собираюсь использовать четность числа различных простых делителей числа p. Обращаю также Ваше внимание, что в условии не сказано, в каком порядке берутся простые делители числа  p. Также я не буду использовать равенство числа положительных и числа отрицательных слагаемых. Итак, можно считать, что нам дана сумма

сократив на общие множители, получаем

Поэтому

Поскольку правая часть делится на левая часть  также обязана делиться на   а это очевидно не так.

Вывод: такое равенство не может  иметь место.