Найдите два натуральных числа, разность которых равна 66, а нок равно 360.

По определению модуля.

Значит, при переходе через точку x=-2 выражения различаются.

Аналогично и остальные модули.

Таких точек в данном выражении четыре:

x=-2; x=8; x=-9; x=4,5

Эти точки разбивают числовую прямую на 5 промежутков.

Раскрываем  модули на каждом промежутке:

1)

(-∞;-9]:

x+2 < 0  ⇒  |2+x|=-2-x

x-8 < 0 ⇒  |x-8|=-x+8

2x+18 < 0 ⇒ |2x+18|=-2x-18

Тогда

|2+x|-|x-8|+|2x+18|- =  -2-x-(-x+8)+(-2x-18)-(-x+4,5)=-x-32,5

2)

(-9;-2]:

x+2 < 0  ⇒  |2+x|=-2-x

x-8 < 0 ⇒  |x-8|=-x+8

2x+18 > 0 ⇒ |2x+18|=2x+18

Тогда

|2+x|-|x-8|+|2x+18|- =  -2-x-(-x+8)+(2x+18)-(-x+4,5)=3x+3,5

3)

(-2;4,5]:

x+2 > 0  ⇒  |2+x|=2+x

x-8 < 0 ⇒  |x-8|=-x+8

2x+18 > 0 ⇒ |2x+18|=2x+18

Тогда

|2+x|-|x-8|+|2x+18|- =  2+x-(-x+8)+(2x+18)-(-x+4,5)=5x+23,5

4)

(4,5; 8]:

x+2 > 0  ⇒  |2+x|=2+x

x-8 < 0 ⇒  |x-8|=-x+8

2x+18 > 0 ⇒ |2x+18|=2x+18

Тогда

|2+x|-|x-8|+|2x+18|- =  2+x-(-x+8)+(2x+18)-(x-4,5)=3x+16,5

5)

( 8;+ ∞]:

x+2 > 0  ⇒  |2+x|=2+x

x-8 > 0 ⇒  |x-8|=x-8

2x+18 > 0 ⇒ |2x+18|=2x+18

Тогда

|2+x|-|x-8|+|2x+18|- =  2+x-(x-8)+(2x+18)-(x-4,5)=x+32,5

О т в е т.

1) проверяем условие при наименьшем возможном значении n.

n>5, значит проверяем условие при n=6

Верно!

2) Сделаем предположение, что для всех n=k, k>5 верно неравенство:

3) Тогда при n=k+1 должно выполняться неравенство:

Вернемся к неравенству из второго пункта и домножим его на 2:

Подставим 2k² в 3-й пункт и рассмотрим полученное неравенство:

по методу интервалов определяем, что неравенство k²-2k-1>0 выполняется при  k>1+√2, тогда при k>5 оно тоже выполняется (так как 5>1+√2)

Тогда обратным ходом получаем 2k²>k²+2k+1 при k>5 или 2k²>(k+1)² при k>5

Если , а , при k>5

То есть, , при k>5, то по закону транзитивности:

, при k>5 - ч.т.д