Задание 1
Составьте уравнение касательной к графику функции
у=2х²+1 в точке Х₀=2
Уравнение касательной:
у(кас)= f(x₀)+f`(x₀)*(x-x₀)
найдем f(x₀)=2*2²+1=9
найдем f`(x)=(2x²+1)`=4x
f`(x₀)=4*2=8
Тогда уравнение касательной
у(кас)=9+8(х-2)=9+8х-16=8х-7
Задание 2
Для функции f(x) = - x³ + 3х +2
Найдите:
а) промежутки возрастания и экстремумы функции
Найдем производную нашей функции
f`(x)= -3x²+3
найдем нули производной
f`(x)=0
-3x²+3=0; x²=1; x=±1
точки экстремума х=±1
Теперь определим промежутки возрастания и убывания
для этого определим знаки производной на промежутках
__- -1+1-
убывает возрастает убывает
промежутки убывания (-∞;-1]∪[1;+∞)
промежутки возрастания [-1;1]
точка х= -1 точка минимума
точка х=1 точка максимума
б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]
На данном отрезке функция убывает, значит
при х=1 наибольшее значение f(1)= -1³+3*1+2=4
при х= 3 наименьшее значение f(3)= -3³+3(3)+2= -27+9+2= -16
Находим первую производную функции:
y' = 6*(x^2) - 6x
или
y' = 6x(x-1)
Приравниваем ее к нулю:
6*(x^2) - 6x = 0
x(x - 1) = 0
x1 = 0
x2 = 1
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0) = 0
f(1) = -1
f(-1) = -5
f(3) = 27
ответ: fmin = -5, fmax = 27
б) x^3 + 3x (-1;2)
Находим первую производную функции:
y' = 3*(x^2) + 3
Приравниваем ее к нулю:
3*(x^2) + 3 = 0
Глобальных экстремумов нет
Находим стационарные точки:
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-1) = - 4
f(2) = 14
ответ:
Имеются только локальные экстремумы (на заданном интервале)
fmin = -4, fmax = 14
в) y = 2*(x^3) - 6*(x^2) + 9 (-2;2)
Находим первую производную функции:
y' = 6*(x^2) - 12x
или
y' = 6x(x-2)
Приравниваем ее к нулю:
6x(x-2) = 0
x1 = 0
x2 = 2
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0) = 9
f(2) = 1
f(-2) = -31
f(2) = 1
ответ: fmin = -31, fmax = 9
г) y = (x^3) - 3x (-2;3)
Находим первую производную функции:
y' = 3*(x^2) - 3
Приравниваем ее к нулю:
3*(x^2) - 3 = 0
x1 = -1
x2 = 1
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-1) = 2
f(1) = -2
f(-2) = -2
f(3) = 18
ответ:fmin = -2, fmax = 18
Задание 1
Составьте уравнение касательной к графику функции
у=2х²+1 в точке Х₀=2
Уравнение касательной:
у(кас)= f(x₀)+f`(x₀)*(x-x₀)
найдем f(x₀)=2*2²+1=9
найдем f`(x)=(2x²+1)`=4x
f`(x₀)=4*2=8
Тогда уравнение касательной
у(кас)=9+8(х-2)=9+8х-16=8х-7
Задание 2
Для функции f(x) = - x³ + 3х +2
Найдите:
а) промежутки возрастания и экстремумы функции
Найдем производную нашей функции
f`(x)= -3x²+3
найдем нули производной
f`(x)=0
-3x²+3=0; x²=1; x=±1
точки экстремума х=±1
Теперь определим промежутки возрастания и убывания
для этого определим знаки производной на промежутках
__- -1+1-
убывает возрастает убывает
промежутки убывания (-∞;-1]∪[1;+∞)
промежутки возрастания [-1;1]
точка х= -1 точка минимума
точка х=1 точка максимума
б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]
На данном отрезке функция убывает, значит
при х=1 наибольшее значение f(1)= -1³+3*1+2=4
при х= 3 наименьшее значение f(3)= -3³+3(3)+2= -27+9+2= -16