Найдите какую-либо первообразную функции у = 3/(4x^2 )
1) 1 – 3/(4x^2 ); 2) 3 + 3/4х; 3) 5 – 3/4х; 4) 4 + 3/(4x^3 ).
Для функции у = –3 sinx найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;10)
1) –3соsx + 13; 2) 3соsx + 7; 3) –3sinx + 10; 4) 5соsx + 1.
Для нахождения первообразной функции, мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна данной функции у = 3/(4x^2).
Итак, давайте найдем первообразную.
У нас дана функция у = 3/(4x^2). Мы можем использовать правило интегрирования для степеней x, чтобы найти первообразную данной функции.
Правило гласит: ∫(1/x^n)dx = (1/(n-1)) * (1/x^(n-1)) + C, где C - постоянная.
В нашем случае, n = 2. Поэтому, мы можем применить правило и получить:
∫(3/(4x^2))dx = (1/(2-1)) * (1/(4x^(2-1))) + C
= (1/1) * (1/(4x)) + C
= 1/(4x) + C
Таким образом, первообразная функции у = 3/(4x^2) это 1/(4x) + C, где C - постоянная.
Теперь, чтобы проверить ответ, мы можем взять производную от найденной первообразной и убедиться, что она совпадает с исходной функцией.
Для функции 1 - 3/(4x^2 ):
У нас функция у = 1 - 3/(4x^2 ). Если мы возьмем производную от этой функции, то получим:
d/dx(1 - 3/(4x^2 )) = 0 - (-3/(4x^2 * 2))
= 3/(4x^2 * 2)
= 3/(8x^2)
Мы видим, что производная равна 3/(8x^2), а не 3/(4x^2), что значит, что это не первообразная функция.
Таким образом, ответ 1) 1 – 3/(4x^2 ) является неправильным.
Аналогично, мы можем проверить все оставшиеся варианты 2) 3 + 3/4х, 3) 5 – 3/4х и 4) 4 + 3/(4x^3 ).
Для функции 3 + 3/4х:
У нас функция у = 3 + 3/4х. Если мы возьмем производную от этой функции, то получим:
d/dx(3 + 3/4х) = 0 + (3/4)
= 3/4
Мы видим, что производная равна 3/4, а не 3/(4x^2), что значит, что это не первообразная функция.
Таким образом, ответ 2) 3 + 3/4х является неправильным.
Для функции 5 – 3/4х:
У нас функция у = 5 – 3/4х. Если мы возьмем производную от этой функции, то получим:
d/dx(5 – 3/4х) = 0 - (-3/4)
= 3/4
Мы видим, что производная равна 3/4, а не 3/(4x^2), что значит, что это не первообразная функция.
Таким образом, ответ 3) 5 – 3/4х является неправильным.
Для функции 4 + 3/(4x^3 ):
У нас функция у = 4 + 3/(4x^3 ). Если мы возьмем производную от этой функции, то получим:
d/dx(4 + 3/(4x^3 )) = 0 + (-3/(4x^3 * 3))
= -1/(4x^3 * 4)
= -1/(16x^3)
Мы видим, что производная равна -1/(16x^3), а не 3/(4x^2), что значит, что это не первообразная функция.
Таким образом, ответ 4) 4 + 3/(4x^3 ) является неправильным.
Таким образом, ни один из вариантов 1), 2), 3) и 4) не является правильным ответом на данный вопрос.
Для второго вопроса:
Для нахождения первообразной для функции у = -3sinx, график которой проходит через точку М(0;10), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна -3sinx и удовлетворяет условию F(0) = 10.
Итак, давайте найдем первообразную.
У нас дана функция у = -3sinx. Мы знаем, что первообразная для функции sinx это -cosx.
Поэтому, мы можем записать первообразную для функции у = -3sinx как -3*(-cosx) = 3cosx.
Теперь, чтобы найти постоянную С, мы должны использовать условие F(0) = 10. Мы знаем, что при x = 0, F(0) = 3cos0 = 3*1 = 3.
Таким образом, чтобы F(0) = 10, нам нужно добавить 7 к найденной первообразной.
Итак, первообразная функции у = -3sinx, график которой проходит через точку М(0;10) это 3cosx + 7.
Теперь, чтобы проверить ответ, мы можем взять производную от найденной первообразной и убедиться, что она совпадает с исходной функцией, и также проверим, что фиксированное значение F(0) равно 10.
Для функции -3cosx + 7:
У нас функция у = -3cosx + 7. Если мы возьмем производную от этой функции, то получим:
d/dx(-3cosx + 7) = -(-3*sinx)
= 3*sinx
Мы видим, что производная равна 3*sinx, что совпадает с исходной функцией -3sinx.
Также, при x = 0, F(0) = 3cos0 + 7 = 3*1 + 7 = 3 + 7 = 10.
Мы видим, что фиксированное значение F(0) равно 10, что подтверждает правильность нашего ответа.
Таким образом, ответ 1) –3cosx + 13 является правильным ответом на данный вопрос.