Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. глава 5. решение треугольников 5.1. прямоугольный треугольник аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. до сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. с введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 1 рисунок 5.1.1. прямоугольный треугольник. косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. пусть угол (bac) – искомый острый угол. так, например, для угла bac (рис. 5.1.1) теорема 5.1. косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника. доказательство пусть abc и a1b1c1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах a и a1, равным α . построим треугольник ab2c2, равный треугольнику a1b1c1, как показано на рис. 5.1.2. это возможно по аксиоме 4.1. так как углы a и a1 равны, то b2 лежит на прямой ab. прямые bc и b2c2 перпендикулярны прямой ac, и по следствию 3.1 они параллельны. по теореме 4.13 2 рисунок 5.1.2. к теореме 5.1. но по построению ac2 = a1c1; ab2 = a1b1, следовательно, что и требовалось доказать. теорема 5.2. теорема пифагора. в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. модель 5.2. доказательство теоремы пифагора. на рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. bc и ac – его катеты, ab – гипотенуза. по теореме bc2 + ac2 = ab2. доказательство пусть abc – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине c. 3 рисунок 5.1.3. к доказательству теоремы пифагора. проведем высоту cd из вершины c. по определению из треугольника acd и из треугольника abc. по теореме 5.1 и, следовательно, . аналогично из δ cdb, из δ acb, и отсюда ab · bd = bc2. складывая полученные равенства и, замечая, что ad + bd = ab, получаем ac2 + bc2 = ab · ad + ab · bd = ab (ad + bd) = ab2. теорема доказана. в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. косинус любого острого угла меньше единицы. пусть [bc] – перпендикуляр, опущенный из точки b на прямую a, и a – любая точка этой прямой, отличная от c. отрезок ab называется наклонной, проведенной из точки b к прямой a. точка c называется основанием наклонной. отрезок ac называется проекцией наклонной. с теоремы пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. по определению тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. для угла (bac) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла. 4 рисунок 5.1.4. из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника, то катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α; катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α; катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.
Пусть производительность одной трубы - х, другой - у. Тогда при совместной работе, если всю работу обозначить за единицу, им потребуется 2 часа. При отдельной работе разница во времени составляет 3 часа, составим систему:
1 / (х + у) = 2,
1/х - 1/у = 3.
Из первого уравнения выразим х и подставим во второе:
Решением является только положительное значение у2 = 1/3.
2) х = 0,5 - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6.
Т.е. одна труба наполняет за 1 час 1/3 цистерны, а другая 1/6. Значит одной трубе нужно 3 часа, а другой нужно 6 часов, чтобы наполнить всю цистерну при отдельной работе. Поэтому ответ задачи - 3 часа, данной трубе требуется меньшее время.
номер 3
Пусть производительность одной трубы - х, другой - у. Тогда при совместной работе, если всю работу обозначить за единицу, им потребуется 2 часа. При отдельной работе разница во времени составляет 3 часа, составим систему:
1 / (х + у) = 2,
1/х - 1/у = 3.
Из первого уравнения выразим х и подставим во второе:
1 = 2 * (х + у), 1 = 2х + 2у, 2х = 1 - 2у, х = 0,5 - у.
1 / (0,5 - у) - 1/у = 3,
у - (0,5 - у) = 3 * у * (0,5 - у),
у - 0,5 + у = -3у2 + 1,5у,
3у2 + 0,5у - 0,5 = 0,
D = b2 - 4ac
D = 0,25 - 4 * 3 * (-0,5) = 6,25.
у = (-b ± √D) / 2a
у = (-0,5 ± 2,5) / 6
у1 = -1/2, у2 = 1/3.
Решением является только положительное значение у2 = 1/3.
2) х = 0,5 - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6.
Т.е. одна труба наполняет за 1 час 1/3 цистерны, а другая 1/6. Значит одной трубе нужно 3 часа, а другой нужно 6 часов, чтобы наполнить всю цистерну при отдельной работе. Поэтому ответ задачи - 3 часа, данной трубе требуется меньшее время.
ответ: необходимо 3 часа