С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
Для того чтобы найти область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5), мы должны учесть два момента. Во-первых, подзнак квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Во-вторых, знаменатель функции не может быть равен нулю, так как это приведет к делению на ноль.
Теперь приступим к решению:
1. Найдем выражение под квадратным корнем: 25 - x^2 + 7
Разложим это выражение на множители: 32 - x^2
Получаем выражение (5 - x)(5 + x)
Таким образом, для того чтобы это выражение было больше или равно нулю, должно выполняться одно из двух условий:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
2. Решим первое условие:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
a.1) (5 - x) ≥ 0
Решаем неравенство:
5 ≥ x
x ≤ 5
a.2) (5 + x) ≥ 0
Решаем неравенство:
-5 ≤ x
x ≥ -5
Итак, в результате первого условия мы получили, что -5 ≤ x ≤ 5.
3. Решим второе условие:
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
б.1) (5 - x) ≤ 0
Решаем неравенство:
x ≤ 5
б.2) (5 + x) ≤ 0
Решаем неравенство:
-5 ≥ x
x ≤ -5
Здесь мы получили, что x ≤ -5 или x ≥ 5.
4. Окончательно, объединим результаты первого и второго условий:
Область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) состоит из двух интервалов: (-∞, -5] и [5, +∞).
Таким образом, область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) составляет все вещественные числа, кроме интервала (-5, 5).
<!--c-->
Преобразим заданное уравнение:
x3+12x2−27x=a
С производной построим график функции y=x3+12x2−27x.
1. Введём обозначение f(x)=x3+12x2−27x.
Найдём область определения функции D(f)=(−∞;+∞).
2. Найдем стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
f′(x)=(x3+12x2−27x)′=3x2+24x−27.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, назывём стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, —критическими.
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет. Стационарные точки найдем из соотношения f′(x)=0:
3x2+24x−27=0|÷3x2+8x−9=0D4=(b2)2−ac=822+9=25x1,2=−b2±D4−−√a=−82±25−−√1=−82±5x1=−82−5=−9x2=−82+5=1
Критические и стационарные точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.
Если производная функции в критической (стационарной) точке:
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Итак, определим точки экстремума:
При x<−9 имеем положительную производную (на этом промежутке функция возрастает); при −9<x<1 имеем отрицательную производную (на этом промежутке функция убывает). Значит, x=−9 — точка максимума функции. При −9<x<1 имеем отрицательную производную, при
Объяснение:
Теперь приступим к решению:
1. Найдем выражение под квадратным корнем: 25 - x^2 + 7
Разложим это выражение на множители: 32 - x^2
Получаем выражение (5 - x)(5 + x)
Таким образом, для того чтобы это выражение было больше или равно нулю, должно выполняться одно из двух условий:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
2. Решим первое условие:
а) (5 - x) ≥ 0 и (5 + x) ≥ 0
a.1) (5 - x) ≥ 0
Решаем неравенство:
5 ≥ x
x ≤ 5
a.2) (5 + x) ≥ 0
Решаем неравенство:
-5 ≤ x
x ≥ -5
Итак, в результате первого условия мы получили, что -5 ≤ x ≤ 5.
3. Решим второе условие:
б) (5 - x) ≤ 0 и (5 + x) ≤ 0
б.1) (5 - x) ≤ 0
Решаем неравенство:
x ≤ 5
б.2) (5 + x) ≤ 0
Решаем неравенство:
-5 ≥ x
x ≤ -5
Здесь мы получили, что x ≤ -5 или x ≥ 5.
4. Окончательно, объединим результаты первого и второго условий:
Область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) состоит из двух интервалов: (-∞, -5] и [5, +∞).
Таким образом, область определения функции f(x) = √(25 - x^2 + 7)/(x - 5) составляет все вещественные числа, кроме интервала (-5, 5).