Добро пожаловать в мою "школу"! С удовольствием помогу тебе решить эти задачи.
а) Дано неравенство 2х² - 7х - 4 ≤ 0.
1. Для начала, нарисуем график квадратичной функции y = 2х² - 7х - 4. Для этого нам нужно построить оси координат и отметить на них точки, соответствующие значениям функции при разных значениях x.
Используя формулу x = -b / (2a), где a, b и c - коэффициенты квадратичной функции, найдем точку вершины графика. В данном случае, a = 2, b = -7 и c = -4.
x = -(-7) / (2 * 2) = 7 / 4 = 1.75
Теперь подставим эту x-координату в уравнение, чтобы найти y-координату.
Таким образом, у нас есть точка вершины графика (1.75, -10.125).
2. Теперь нарисуем график квадратичной функции, используя вычисленные данные. График будет представлять собой параболу, у которой вершина смотрит вверх и проходит через точку (1.75, -10.125).
3. Чтобы решить неравенство 2х² - 7х - 4 ≤ 0, нам нужно определить значения x, при которых график находится или ниже оси x (т.е. под графиком).
4. Для этого рассмотрим выпуклость параболы. Поскольку коэффициент перед x² положительный (2 > 0), это означает, что парабола открывается вверх.
5. Также заметим, что у нас есть точка вершины (1.75, -10.125), которая является минимумом функции. Это означает, что график функции находится ниже оси x в точках, расположенных слева и справа от вершины.
6. Пользуясь этой информацией, мы можем сказать, что решением неравенства является интервал (-∞, x₁] ∪ [x₂, +∞), где x₁ и x₂ - значения, соответствующие точкам пересечения графика с осью x. Как уже было сказано, график пересекает ось x слева и справа от вершины.
7. Чтобы найти эти значения x, выразим неравенство в виде уравнения: 2х² - 7х - 4 = 0.
Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать факторизацию, метод квадратных корней или дискриминант.
8. Применяя метод дискриминанта, найдем дискриминант D. Формула для дискриминанта такая: D = b² - 4ac. В нашем случае, a = 2, b = -7 и c = -4.
D = (-7)² - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81.
9. Теперь, продолжим с поиском корней уравнения, зная значение D.
Используя формулу x = (-b ± √D) / (2a), мы можем найти значения x.
Таким образом, значениями пересечения графика с осью x являются x₁ = 4 и x₂ = -0.5.
10. Наконец, неравенство будет иметь вид (-∞, -0.5] ∪ [4, +∞), что означает, что решение нашего неравенства - интервал, начинающийся от минус бесконечности до -0.5 (включая -0.5), и интервал от 4 до плюс бесконечности (включая 4).
б) Дано неравенство x² - 3х - 4 < 0.
1. Поступим аналогично заданию а).
2. Рассмотрим выпуклость параболы в данном случае. Поскольку коэффициент перед x² положительный (1 > 0), это означает, что парабола открывается вверх.
3. Найдем точку вершины графика по формуле x = -b / (2a).
x = -(-3) / (2 * 1) = 3 / 2 = 1.5
y = 1.5² - 3 * 1.5 - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25
Таким образом, у нас есть точка вершины графика (1.5, -6.25).
4. График параболы, открывающейся вверх, будет находиться ниже оси x в точках, расположенных слева и справа от вершины.
5. Отсюда мы можем заключить, что решение неравенства будет иметь вид (-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞), где x₁ и x₂ - значения, соответствующие точкам пересечения графика с осью x.
6. Чтобы найти эти значения x, выразим неравенство в виде уравнения: x² - 3х - 4 = 0.
Таким образом, значениями пересечения графика с осью x являются x₁ = 4 и x₂ = -1.
9. Итак, решение неравенства будет иметь вид (-∞, -1) ∪ (4, +∞), что означает, что решение нашего неравенства - интервал, начинающийся от минус бесконечности до -1 (не включая -1), и интервал от 4 до плюс бесконечности (не включая 4).
Надеюсь, это подробное решение поможет тебе лучше понять процесс решения неравенств с помощью графика квадратичной функции. Если у тебя еще есть вопросы, не стесняйся, спрашивай!
а) Дано неравенство 2х² - 7х - 4 ≤ 0.
1. Для начала, нарисуем график квадратичной функции y = 2х² - 7х - 4. Для этого нам нужно построить оси координат и отметить на них точки, соответствующие значениям функции при разных значениях x.
Используя формулу x = -b / (2a), где a, b и c - коэффициенты квадратичной функции, найдем точку вершины графика. В данном случае, a = 2, b = -7 и c = -4.
x = -(-7) / (2 * 2) = 7 / 4 = 1.75
Теперь подставим эту x-координату в уравнение, чтобы найти y-координату.
y = 2 * (1.75)² - 7 * (1.75) - 4 = 2 * 3.0625 - 12.25 - 4 = 6.125 - 12.25 - 4 = -10.125
Таким образом, у нас есть точка вершины графика (1.75, -10.125).
2. Теперь нарисуем график квадратичной функции, используя вычисленные данные. График будет представлять собой параболу, у которой вершина смотрит вверх и проходит через точку (1.75, -10.125).
3. Чтобы решить неравенство 2х² - 7х - 4 ≤ 0, нам нужно определить значения x, при которых график находится или ниже оси x (т.е. под графиком).
4. Для этого рассмотрим выпуклость параболы. Поскольку коэффициент перед x² положительный (2 > 0), это означает, что парабола открывается вверх.
5. Также заметим, что у нас есть точка вершины (1.75, -10.125), которая является минимумом функции. Это означает, что график функции находится ниже оси x в точках, расположенных слева и справа от вершины.
6. Пользуясь этой информацией, мы можем сказать, что решением неравенства является интервал (-∞, x₁] ∪ [x₂, +∞), где x₁ и x₂ - значения, соответствующие точкам пересечения графика с осью x. Как уже было сказано, график пересекает ось x слева и справа от вершины.
7. Чтобы найти эти значения x, выразим неравенство в виде уравнения: 2х² - 7х - 4 = 0.
Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать факторизацию, метод квадратных корней или дискриминант.
8. Применяя метод дискриминанта, найдем дискриминант D. Формула для дискриминанта такая: D = b² - 4ac. В нашем случае, a = 2, b = -7 и c = -4.
D = (-7)² - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81.
9. Теперь, продолжим с поиском корней уравнения, зная значение D.
Используя формулу x = (-b ± √D) / (2a), мы можем найти значения x.
x₁ = (-(-7) + √81) / (2 * 2) = (7 + 9) / 4 = 16 / 4 = 4
x₂ = (-(-7) - √81) / (2 * 2) = (7 - 9) / 4 = -2 / 4 = -0.5
Таким образом, значениями пересечения графика с осью x являются x₁ = 4 и x₂ = -0.5.
10. Наконец, неравенство будет иметь вид (-∞, -0.5] ∪ [4, +∞), что означает, что решение нашего неравенства - интервал, начинающийся от минус бесконечности до -0.5 (включая -0.5), и интервал от 4 до плюс бесконечности (включая 4).
б) Дано неравенство x² - 3х - 4 < 0.
1. Поступим аналогично заданию а).
2. Рассмотрим выпуклость параболы в данном случае. Поскольку коэффициент перед x² положительный (1 > 0), это означает, что парабола открывается вверх.
3. Найдем точку вершины графика по формуле x = -b / (2a).
x = -(-3) / (2 * 1) = 3 / 2 = 1.5
y = 1.5² - 3 * 1.5 - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25
Таким образом, у нас есть точка вершины графика (1.5, -6.25).
4. График параболы, открывающейся вверх, будет находиться ниже оси x в точках, расположенных слева и справа от вершины.
5. Отсюда мы можем заключить, что решение неравенства будет иметь вид (-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞), где x₁ и x₂ - значения, соответствующие точкам пересечения графика с осью x.
6. Чтобы найти эти значения x, выразим неравенство в виде уравнения: x² - 3х - 4 = 0.
7. Применим метод дискриминанта для нахождения D.
D = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.
8. Используем формулу для нахождения корней.
x₁ = (-(-3) + √25) / (2 * 1) = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4
x₂ = (-(-3) - √25) / (2 * 1) = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1
Таким образом, значениями пересечения графика с осью x являются x₁ = 4 и x₂ = -1.
9. Итак, решение неравенства будет иметь вид (-∞, -1) ∪ (4, +∞), что означает, что решение нашего неравенства - интервал, начинающийся от минус бесконечности до -1 (не включая -1), и интервал от 4 до плюс бесконечности (не включая 4).
Надеюсь, это подробное решение поможет тебе лучше понять процесс решения неравенств с помощью графика квадратичной функции. Если у тебя еще есть вопросы, не стесняйся, спрашивай!