Мы привели уравнение к более простому виду, и теперь мы можем решить его:
1) Рассмотрим слагаемое √3sin(πx). Чтобы оно равнялось 0, sin(πx) = 0. Это возможно, если πx = 0, т.е. x = 0.
2) Рассмотрим слагаемое 2sin(πx/2). Чтобы оно равнялось 0, sin(πx/2) = 0. Это возможно, если πx/2 = 0, т.е. x = 0.
3) Рассмотрим слагаемое 2sin(πx/2)√(1 + cos(πx/2)). Чтобы оно равнялось 0, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0. А это возможно только если sin(πx/2) = 0 (как мы уже выяснили в предыдущем пункте).
Таким образом, сумма корней уравнения sin(πx/2 + π/3) + cos(πx - π/3) = 2 на промежутке [-10; 1] равняется 0.
Для начала, давайте перепишем уравнение в более удобной форме, используя тригонометрические тождества:
sin(πx/2 + π/3) + cos(πx - π/3) = 2
Мы можем использовать следующие тождества:
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
Применим данные тождества к нашему уравнению:
sin(πx/2)cos(π/3) + cos(πx/2)sin(π/3) + cos(πx)cos(-π/3) - sin(πx)sin(-π/3) = 2
Так как cos(-θ) = cos(θ) и sin(-θ) = -sin(θ), мы можем упростить уравнение:
(√3/2)sin(πx/2) + (1/2)cos(πx/2) + (1/2)cos(πx) + (√3/2)sin(πx) = 2
Теперь приведем подобные слагаемые и упростим выражение:
(√3/2 + √3/2)sin(πx) + (1/2 + 1/2)cos(πx/2) = 2
√3sin(πx) + cos(πx/2) = 2
Затем, воспользуемся формулой синуса для суммы двух углов:
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
sin(πx + π/2) = sin(πx)cos(π/2) + cos(πx)sin(π/2)
cos(πx) = sin(πx)
Теперь мы можем заменить cos(πx) в уравнении:
√3sin(πx) + sin(πx/2) = 2
Суммируем слагаемые:
√3sin(πx) + 2sin(πx/2) = 2
Теперь мы можем использовать тождество sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) для первого слагаемого:
√3sin(πx) + 2sin(πx/2) = 2sin(πx/2)cos(πx/2) + 2sin(πx/2)
Мы можем вынести sin(πx/2) в скобки:
√3sin(πx) + 2sin(πx/2) = 2sin(πx/2)(cos(πx/2) + 1)
Сокращаем общие множители:
√3sin(πx) + 2sin(πx/2) = 2sin(πx/2)√(1 + cos(πx/2))
Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:
√3sin(πx) + 2sin(πx/2) = 2sin(πx/2)√(1 + cos(πx/2))
Мы привели уравнение к более простому виду, и теперь мы можем решить его:
1) Рассмотрим слагаемое √3sin(πx). Чтобы оно равнялось 0, sin(πx) = 0. Это возможно, если πx = 0, т.е. x = 0.
2) Рассмотрим слагаемое 2sin(πx/2). Чтобы оно равнялось 0, sin(πx/2) = 0. Это возможно, если πx/2 = 0, т.е. x = 0.
3) Рассмотрим слагаемое 2sin(πx/2)√(1 + cos(πx/2)). Чтобы оно равнялось 0, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей равнялся 0. А это возможно только если sin(πx/2) = 0 (как мы уже выяснили в предыдущем пункте).
Таким образом, сумма корней уравнения sin(πx/2 + π/3) + cos(πx - π/3) = 2 на промежутке [-10; 1] равняется 0.