Алгебра: Розвязати нерівність sqrt(2x-1)+sqrt(x+15) 5.

Розвязати нерівність sqrt(2x-1)+sqrt(x+15)< 5.

Показать ответ

Ответ:

givka1

04.10.2020 08:38

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+15}\ \textless \ 5 \\$ Возведём в квадрат, не забывая про ОДЗ:
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+15}\ \textless \ 5 \\ \Leftrightarrow \begin{cases}
2x-1\geqslant0 \\ 
x+15\geqslant0 \\ 
2x-1+2\sqrt{(2x-1)(x+15)}+x+15\ \textless \ 25 
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}
 x\geqslant\frac{1}{2} \\ 
x\geqslant-15 \\ 
3x+14+2\sqrt{2x^2+30x-x-15}\ \textless \ 25 
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}
x\geqslant\frac{1}{2} \\ 
2\sqrt{2x^2+29x-15}\ \textless \ 11-3x 
\end{cases}$
Второе неравенство снова возводим в квадрат, не забывая про неотрицательность правой части. (Неотрицательность подрадикального выражения уже учтена ОДЗ.)
$\Leftrightarrow \begin{cases}
x\geqslant\frac{1}{2} \\ 
4(2x^2+29x-15)\ \textless \ (11-3x)^2 \\ 
 11-3x\geqslant0 
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}
x\geqslant\frac{1}{2} \\ 
8x^2+116x-60\ \textless \ 121-66x+9x^2 \\ 
x\leqslant\frac{11}{3} 
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}
\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ 
x^2-182x+1810\ \textgreater \ 0 
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}
\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ 
\left[\begin{array}{l} x\ \textgreater \ 181 \\ x\ \textless \ 1 \end{array}\right. 
\end{cases}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \begin{cases}
\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ 
x\ \textgreater \ 181 
\end{cases} \\ \begin{cases}
\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{11}{3} \\ 
x\ \textless \ 1 
\end{cases} \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \varnothing \\ \frac{1}{2}\leqslant x\ \textless \ 1 \end{array}\right.$

ответ: $x\in[\frac{1}{2};1).$