Сначала разберём таблицу. В первой строке - значения выборки, вторая строка - показывает сколько раз каждое значение встречается в выборке. Таким образом полная выборка будет такой: 2; 5; 5; 5; 7; 7; 8; 8; 8; 8. Количество значений в выборке будет равно 10 (это обозначается так n = 10).
2) Дисперсия обозначается S² и вычисляется по формуле: сумму разностей квадратов значения выборки и её среднего арифметического поделить на (n-1). Получаем
4) Мода - это значение встречающееся в выборке чаще других, то есть
мода = 8
Если выборка содержит нечетное количество элементов, медиана равна (n+1)/2-му элементу.
Если выборка содержит четное количество элементов (как в нашем случае), медиана лежит между двумя средними элементами выборки и равна среднему арифметическому, вычисленному по этим двум элементам. То есть
Разобьём квадрат со стороной 5 см на 25 квадратов со стороной 1 см. Будем рассматривать их как контейнеры. Точка попадает в контейнер, если она лежит либо на его сторонах, либо во внутренней области. Тогда, по принципу Дирихле, хотя бы в одном из контейнеров окажется две точки. [Некоторые точки могут попасть сразу в четыре контейнера (если такая точка упадёт на вершину квадрата, которая не лежит на стороне исходного квадрата), но для нас важно, что любая точка с необходимостью попадает хотя бы в один.] Итак, в одном из контейнеров содержится две точки. Вспомним, что наш контейнер не что иное, как квадрат со стороной в 1 см. Покажем, что расстояние между двумя точками квадрата со стороной в 1 см не превышает √2. Рассмотрим квадрат ABCD (рис.1) со стороной равной 1 см и две произвольные точки, которые лежат на квадрате.
Сначала разберём таблицу. В первой строке - значения выборки, вторая строка - показывает сколько раз каждое значение встречается в выборке. Таким образом полная выборка будет такой: 2; 5; 5; 5; 7; 7; 8; 8; 8; 8. Количество значений в выборке будет равно 10 (это обозначается так n = 10).
1) Среднее арифметическое = (2 · 1 + 5 · 3 + 7 · 2 + 8 · 4) / 10 = 6,3
2) Дисперсия обозначается S² и вычисляется по формуле: сумму разностей квадратов значения выборки и её среднего арифметического поделить на (n-1). Получаем
S² = ( (2 - 6,3)² + (5 - 6,3)² + (5 - 6,3)² + (5 - 6,3)² + (7 - 6,3)² + (7 - 6,3)² + (8 - 6,3)² + (8 - 6,3)² + (8 - 6,3)² + (8 - 6,3)² ) / 10 - 1 = 4,01
3) Среднее квадратическое отклонение обозначается буквой ω:
ω = √S² = √4,01 = 2,002
4) Мода - это значение встречающееся в выборке чаще других, то есть
мода = 8
Если выборка содержит нечетное количество элементов, медиана равна (n+1)/2-му элементу.
Если выборка содержит четное количество элементов (как в нашем случае), медиана лежит между двумя средними элементами выборки и равна среднему арифметическому, вычисленному по этим двум элементам. То есть
медиана = (7 + 7) / 2 = 7
Итак, в одном из контейнеров содержится две точки. Вспомним, что наш контейнер не что иное, как квадрат со стороной в 1 см.
Покажем, что расстояние между двумя точками квадрата со стороной в 1 см не превышает √2. Рассмотрим квадрат ABCD (рис.1) со стороной равной 1 см и две произвольные точки, которые лежат на квадрате.
Что и требовалось доказать.