Добрый день! Рад помочь вам с решением этих задач.
1) Функция y=3x^3 является элементарной функцией, поэтому ее дифференциал можно найти простым способом, умножив степень x на коэффициент при ней и уменьшив степень на 1:
dy = 9x^2*dx.
2) Функция y=2sinx является тригонометрической функцией. Для нахождения ее дифференциала применим правило дифференцирования функции sinx: синус x дифференцируется в косинус x, и умножаем результат на коэффициент при sinx:
dy = 2cosx*dx.
3) Функция y=5x^2 + 2x является полиномом. Чтобы найти ее дифференциал, дифференцируем каждый член по отдельности:
dy = (10x + 2)dx.
4) Функция y=2sinx + lnx является комбинацией тригонометрической и логарифмической функций. Для нахождения дифференциала суммы нужно найти дифференциал каждой функции и сложить их:
dy = (2cosx + 1/x)dx.
5) Функция y=x^5cosx является комбинацией степенной и тригонометрической функций. Дифференцируем каждую функцию по отдельности, умножаем их на соответствующие коэффициенты и складываем результаты:
dy = (5x^4cosx - x^5sinx)dx.
6) Функция y=lnxsinx является комбинацией логарифмической и тригонометрической функций. По аналогии с предыдущим примером, находим дифференциал каждой функции и складываем:
dy = (1/x*sinx + lnx*cosx)dx.
7) Функция y=x/(x^2+1) является рациональной функцией. Для нахождения дифференциала такой функции нужно использовать правило дифференцирования рациональной функции:
dy = ((x^2+1)*1 - x*(2x))/((x^2+1)^2)dx = (1 - 3x^2)/(x^2+1)^2dx.
8) Функция y=(x-2)/(4x+3) также является рациональной функцией. Применяем аналогичное правило дифференцирования:
dy = ((4x+3)*1 - (x-2)*4)/((4x+3)^2)dx = (11 - 2x)/(4x+3)^2dx.
9) Функция y=ln(sinx) является комбинацией логарифмической и тригонометрической функций. Применяем правило дифференцирования логарифма и тригонометрической функции:
dy = (1/sinx*cosx)dx = cotx*dx.
10) Функция y=cos^2x является комбинацией тригонометрической функции. Применяем правило дифференцирования квадрата функции:
dy = 2cosx*(-sinx)dx = -2sinxcosxdx.
11) Функция y=(3x)/lnx является комбинацией степенной и логарифмической функций. Применяем правило дифференцирования частного функций:
dy = ((3x)'lnx - 3x*lnx')/(lnx)^2dx = (3lnx - 3x*(1/x))/(lnx)^2dx = (3lnx - 3)/(lnx)^2dx.
12) Функция y=ln((1+x)/(1-x)) является комбинацией логарифмической и алгебраической функций. Применяем правило дифференцирования композиции функций:
dy = (1/((1+x)/(1-x)))*(((1+x)'(1-x)-(1+x)*(1-x)')/((1-x)^2))dx = (2/(1-x^2))*(2x/((1+x)/(1-x)))dx = (4x(1-x))/(1-x^2)(1+x)dx.
Таким образом, мы нашли дифференциал для каждой из указанных функций, используя соответствующие правила дифференцирования. Пожалуйста, обратитесь, если у вас возникнут еще вопросы!
1) Функция y=3x^3 является элементарной функцией, поэтому ее дифференциал можно найти простым способом, умножив степень x на коэффициент при ней и уменьшив степень на 1:
dy = 9x^2*dx.
2) Функция y=2sinx является тригонометрической функцией. Для нахождения ее дифференциала применим правило дифференцирования функции sinx: синус x дифференцируется в косинус x, и умножаем результат на коэффициент при sinx:
dy = 2cosx*dx.
3) Функция y=5x^2 + 2x является полиномом. Чтобы найти ее дифференциал, дифференцируем каждый член по отдельности:
dy = (10x + 2)dx.
4) Функция y=2sinx + lnx является комбинацией тригонометрической и логарифмической функций. Для нахождения дифференциала суммы нужно найти дифференциал каждой функции и сложить их:
dy = (2cosx + 1/x)dx.
5) Функция y=x^5cosx является комбинацией степенной и тригонометрической функций. Дифференцируем каждую функцию по отдельности, умножаем их на соответствующие коэффициенты и складываем результаты:
dy = (5x^4cosx - x^5sinx)dx.
6) Функция y=lnxsinx является комбинацией логарифмической и тригонометрической функций. По аналогии с предыдущим примером, находим дифференциал каждой функции и складываем:
dy = (1/x*sinx + lnx*cosx)dx.
7) Функция y=x/(x^2+1) является рациональной функцией. Для нахождения дифференциала такой функции нужно использовать правило дифференцирования рациональной функции:
dy = ((x^2+1)*1 - x*(2x))/((x^2+1)^2)dx = (1 - 3x^2)/(x^2+1)^2dx.
8) Функция y=(x-2)/(4x+3) также является рациональной функцией. Применяем аналогичное правило дифференцирования:
dy = ((4x+3)*1 - (x-2)*4)/((4x+3)^2)dx = (11 - 2x)/(4x+3)^2dx.
9) Функция y=ln(sinx) является комбинацией логарифмической и тригонометрической функций. Применяем правило дифференцирования логарифма и тригонометрической функции:
dy = (1/sinx*cosx)dx = cotx*dx.
10) Функция y=cos^2x является комбинацией тригонометрической функции. Применяем правило дифференцирования квадрата функции:
dy = 2cosx*(-sinx)dx = -2sinxcosxdx.
11) Функция y=(3x)/lnx является комбинацией степенной и логарифмической функций. Применяем правило дифференцирования частного функций:
dy = ((3x)'lnx - 3x*lnx')/(lnx)^2dx = (3lnx - 3x*(1/x))/(lnx)^2dx = (3lnx - 3)/(lnx)^2dx.
12) Функция y=ln((1+x)/(1-x)) является комбинацией логарифмической и алгебраической функций. Применяем правило дифференцирования композиции функций:
dy = (1/((1+x)/(1-x)))*(((1+x)'(1-x)-(1+x)*(1-x)')/((1-x)^2))dx = (2/(1-x^2))*(2x/((1+x)/(1-x)))dx = (4x(1-x))/(1-x^2)(1+x)dx.
Таким образом, мы нашли дифференциал для каждой из указанных функций, используя соответствующие правила дифференцирования. Пожалуйста, обратитесь, если у вас возникнут еще вопросы!