Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, найдем вторую производную функции f(x) и подставим значения найденных корней.
f''(x) = 6x + 6
Так как f''(-0.634) < 0 и f''(-3.366) < 0, то функция имеет локальный максимум в точке x ≈ -0.634 и локальный минимум в точке x ≈ -3.366.
б) Функция f(x) = 2e^3x - 3e^2x
Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x.
f'(x) = 6e^3x - 6e^2x
Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение.
6e^3x - 6e^2x = 0
Перекладываем общий множитель:
6e^2x(e^x - 1) = 0
Так как e^2x > 0 для любого x и (e^x - 1) = 0, то единственный корень уравнения: x = 0.
Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, найдем вторую производную функции f(x) и подставим значение x = 0
f''(x) = 18e^3x - 12e^2x
f''(0) = 18e^0 - 12e^0 = 18 - 12 = 6
Так как f''(0) > 0, то функция имеет локальный минимум в точке x = 0.
Общий вывод: функция f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2 имеет локальный максимум в точке x ≈ -0.634 и локальный минимум в точке x ≈ -3.366. Функция f(x) = 2e^3x - 3e^2x имеет локальный минимум в точке x = 0.
Объяснение:
на листочке
а) Функция f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2
Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x.
f'(x) = 3x^2 + 6x - 2
Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение.
3x^2 + 6x - 2 = 0
Чтобы решить это квадратное уравнение, можно использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 3, b = 6, c = -2
D = (6)^2 - 4(3)(-2)
D = 36 + 24
D = 60
Теперь, найдем корни уравнения, используя формулу:
x = (-b ± √D) / (2a)
x = (-6 ± √60) / (2 * 3)
x1 = (-6 + √60) / 6
x1 ≈ -0.634
x2 = (-6 - √60) / 6
x2 ≈ -3.366
Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, найдем вторую производную функции f(x) и подставим значения найденных корней.
f''(x) = 6x + 6
f''(-0.634) ≈ 6(-0.634) + 6 ≈ -2.404
f''(-3.366) ≈ 6(-3.366) + 6 ≈ -14.196
Так как f''(-0.634) < 0 и f''(-3.366) < 0, то функция имеет локальный максимум в точке x ≈ -0.634 и локальный минимум в точке x ≈ -3.366.
б) Функция f(x) = 2e^3x - 3e^2x
Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x.
f'(x) = 6e^3x - 6e^2x
Шаг 2: Приравняем найденную производную к нулю и решим полученное уравнение.
6e^3x - 6e^2x = 0
Перекладываем общий множитель:
6e^2x(e^x - 1) = 0
Так как e^2x > 0 для любого x и (e^x - 1) = 0, то единственный корень уравнения: x = 0.
Шаг 3: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, найдем вторую производную функции f(x) и подставим значение x = 0
f''(x) = 18e^3x - 12e^2x
f''(0) = 18e^0 - 12e^0 = 18 - 12 = 6
Так как f''(0) > 0, то функция имеет локальный минимум в точке x = 0.
Общий вывод: функция f(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 2 имеет локальный максимум в точке x ≈ -0.634 и локальный минимум в точке x ≈ -3.366. Функция f(x) = 2e^3x - 3e^2x имеет локальный минимум в точке x = 0.