Алгебра: Найти интеграл и указать промежутки монотонности

Найти интеграл и указать промежутки монотонности

Показать ответ

Ответ:

leraci2001

28.06.2021 13:28

Областью определения является пересечение областей определения функций корень(2x-1) и корень(2*ax - 4x^2-a)
Из первой функции : 2x-1 >= 0, x >= 1/2
Выражение 2*ax - 4x^2-a - квадратичная функция, ветви параболы вниз. Тогда, необходимые условия : кв. функция 1) имеет один корень и х >=1/2, или 2) имеет два корня и больший из них равен 1/2
D = (2a)^2 - 16a = 4a(a - 4)
1) D = 0; 4a(a - 4) = 0
1.1) a = 0: - 4x^2 = 0; x = 0; не подходит
1.2) a = 4: 8x - 4x^2-4 = 0; (х-1)^2 = 0; x = 1; подходит
2) D > 0; 4a(a - 4) > 0 a Є (-00; 0) U (4; +00)
x1,2 = (-2a +- корень(4a(a - 4)) ) / -8 = (a +- корень(a(a - 4)) ) / 4
x1,2 = 1/2
(a +- корень(a(a - 4)) ) / 4 = 1/2
(+- корень(a(a - 4)) ) ^ 2 = (2 - a) ^ 2
a ^ 2 - 4a = 4 + a ^ 2 - 4a
0 = 4
нет решений

ответ : при а = 4

0,0(0 оценок)

Ответ:

Nactyxa2003

28.06.2021 13:28

$\displaystyle y=log_{ \frac{1}{4} }( \sqrt{x}log_a5- \sqrt{a}log_a5-x^{ \frac{1}{2}+log_x(log_ax) }+ \sqrt{a}log_ax)$

Основание логарифма больше 0 и не равно 1.
А подлогарифмическое выражение должно быть больше 0.
$\begin{cases} \displaystyle x\ \textgreater \ 0\\a\ \textgreater \ 0\\x \neq 1\\a \neq 1\\log_ax\ \textgreater \ 0\rightarrow x\ \textgreater \ 1\quad \quad (\text{if}\,\,\,\,a\in(0;1)\rightarrow \,\,x\ \textless \ 1)\\\sqrt{x}log_a5- \sqrt{a}log_a5-x^{ \frac{1}{2}+log_x(log_ax) }+ \sqrt{a}log_ax\ \textgreater \ 0 \end{cases}$

Разберемся с последним неравенством.
$\sqrt{x}log_a5- \sqrt{a}log_a5-x^{ \frac{1}{2}+log_x(log_ax) }+ \sqrt{a}log_ax\ \textgreater \ 0\\\\\log_a5(\sqrt{x}- \sqrt{a})-x^{ log_x\sqrt{x}+log_x(log_ax) }+ \sqrt{a}log_ax\ \textgreater \ 0\\\\log_a5(\sqrt{x}- \sqrt{a})-x^{ log_x(\sqrt{x}log_ax) }+ \sqrt{a}log_ax\ \textgreater \ 0\\\\log_a5(\sqrt{x}- \sqrt{a})-\sqrt{x}log_ax+ \sqrt{a}log_ax\ \textgreater \ 0\\\\log_a5(\sqrt{x}- \sqrt{a})-log_ax(\sqrt{x}-\sqrt{a})\ \textgreater \ 0\\\\(\sqrt{x}- \sqrt{a})(log_a5-log_ax)\ \textgreater \ 0$

Это неравенство легко решить методом интервалов.
Найдем нули функции:
$\sqrt{x}-\sqrt{a}=0\\\sqrt{x}=\sqrt{a}\\x=a\\\\log_a5-log_ax=0\\log_a5=log_ax\\x=5$

Отсюда вытекают 3 случая.
(рассматривать случай при а от 0 до 1 нет смысла, так как область определения в это случае будет в границах от 0 до 1, и 4 целых чисел тут не наберется)
$1)\quad a\in (1;5)\\2)\quad a= 5\\3)\quad a\in (5;+\infty)$

Первый случай:
$a\in(1;5)\\\\\underline{\quad\quad\quad 1 \quad \quad \quad -\quad \quad \quad a \quad + \quad 5 \quad \quad \quad -\quad \quad \quad}$
В этом случае при любых значениях а в рассматриваемом промежутке не будет 4 целых чисел в области определения.
$\text{ODZ}:\quad x\in (a;5),\,\,\,a\in(1;5)\,\,\,\rightarrow \,\,\,x\in(1;5)\,\,\,\rightarrow\,\,\,2,3,4$

Второй случай:
При а = 5 вовсе не будет никакой области определения, так как
$a=5\\(\sqrt{x}- \sqrt{5})(log_55-log_5x)\ \textgreater \ 0\quad \quad\\\\\underline{\quad\quad\quad1\quad\quad\quad-\quad\quad\quad5\quad\quad\quad\quad-\quad\quad\quad\quad}$

Третий случай:
$a\in(5;+\infty)\\\\\underline{\quad\quad\quad1\quad\quad\quad-\quad\quad\quad5\quad\quad+\quad\quad a\quad\quad\quad\quad-\quad\quad\quad\quad}$
В этом случае можно выделить те значения а при которых область определения функции будет содержать ровно 4 целых числа.
$\text{ODZ:}\quad x\in(5;a)\quad \rightarrow \quad 6,7,8,9\quad \rightarrow a\in(9;10]$

ответ: $\boxed{a\in(9;10]}$