График уравнения - парабола => Искомое квадратное уравнение имеет вид: ax² + bx + c Для нахождения абцисс пересечения достаточно знать коэффициент а искомой параболы.
x₂ - x₁ = | 1 - (-2) | = 3 (расстояние между абциссами точек) Подставим это значение в уравнение постоянной параболы (y=x²): y = 3² y = 9 (на такой расстоянии от вершины находилась бы точка при B при a=1)
При коэффициенте а=1 расстояния между ординатами соседними точками с целыми абциссами (0; 1; 2; 3) равняются 1; 3; 5 (между 0² и 1² расстояние 1; между 2² и 1² расстояние 3; между 3² и 2² расстояние 5)
При коэффициенте a=2 соотношения расстояний между ординатами соседних точек с целыми абциссами остаются такими же, а сами расстояния увеличиваются в 2 раза (между 0² и 1² расстояние 2; между 2² и 1² расстояние 6; между 3² и 2² расстояние 10)
Теперь последовательно увеличиваем абциссу вершины на 1 и прибавляем к ординате вершины (-2) выведенные числа, пока она не получим ноль.
1) -2 + 1 = -1 -2 + 2 = 0 При прибавлении двух получаем ноль => абцисса 1-ой точки пересечения с осью x равна -1. Вторая абцисса пересечения лежит зеркально по отношению к абциссе параболы: | -2 - (-1) | = 1 Расстояние от вершины параболы до точек пересечения с осью x = 1 -2 - 1 = -3 (абцисса 2-ой точки пересечения с осью x)
Больше двух точек пересечения параболы с какой-либо горизонтальной прямой не бывет => ответ: -3; -1
Дано уравнение:
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Для преобразования используем формулу приведения для косинуса и формулу синуса двойного угла:
Тогда cos x = 0 или sin x = 0,5
Решим cos x = 0. Формулы для нахождения корней уравнения вида cos x = a:
Обе формулы можем объединить в одну:
Получим:
Можно записать в виде:
Решим sin x = 0,5. Запишем формулы для нахождения корней уравнения вида sin x = a.
Решением являются два корня (k — целое число):
Получим:
б) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку.
Суть применяемого заключается в следующем:
1. Берём поочерёдно каждый корень уравнеия.
2. Составляем двойное неравенство.
3. Решаем это неравенство.
4. Находим коэффициент k.
5. Подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в выбранный корень и вычисляем.
Так для каждого найденного нами корня. Итак, первый корень:
Решаем неравенство:
Так число k целое, то k1 = 2 k2 = 3
Находим корни, принадлежащие интервалу:
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Для полученного неравенства целого числа k не существует.
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Так как число k целое, то k = 1.
Находим корень принадлежащий интервалу:
Получили три корня (выделены жёлтым):
*Обратите внимание, что использовали знак нестрого неравенства, так как границы интервала включены (входят) в интервал.
Искомое квадратное уравнение имеет вид: ax² + bx + c
Для нахождения абцисс пересечения достаточно знать коэффициент а искомой параболы.
A(-2;-2) - вершина параболы; x₁ = -2; y₁ = -2;
B(1;16) принадлежит параболе; x₂ = 1; y₂ = 16;
x₂ - x₁ = | 1 - (-2) | = 3 (расстояние между абциссами точек)
Подставим это значение в уравнение постоянной параболы (y=x²):
y = 3²
y = 9 (на такой расстоянии от вершины находилась бы точка при B при a=1)
y₂ - y₁ = |16 - (-2) | = 18 (расстояние между ординатами точек)
18 / 9 = 2 (коэффициент a в 2 раза больше
a = 2
При коэффициенте а=1 расстояния между ординатами соседними точками с целыми абциссами (0; 1; 2; 3) равняются 1; 3; 5 (между 0² и 1² расстояние 1; между 2² и 1² расстояние 3; между 3² и 2² расстояние 5)
При коэффициенте a=2 соотношения расстояний между ординатами соседних точек с целыми абциссами остаются такими же, а сами расстояния увеличиваются в 2 раза (между 0² и 1² расстояние 2; между 2² и 1² расстояние 6; между 3² и 2² расстояние 10)
Теперь последовательно увеличиваем абциссу вершины на 1 и прибавляем к ординате вершины (-2) выведенные числа, пока она не получим ноль.
1) -2 + 1 = -1
-2 + 2 = 0
При прибавлении двух получаем ноль => абцисса 1-ой точки пересечения с осью x равна -1.
Вторая абцисса пересечения лежит зеркально по отношению к абциссе параболы:
| -2 - (-1) | = 1
Расстояние от вершины параболы до точек пересечения с осью x = 1
-2 - 1 = -3 (абцисса 2-ой точки пересечения с осью x)
Больше двух точек пересечения параболы с какой-либо горизонтальной прямой не бывет =>
ответ: -3; -1