Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции y=3x+2cos3x, нам необходимо проанализировать поведение производной этой функции.
Шаг 1: Найдем производную функции y по x. Для этого используем правила дифференцирования:
По правилу дифференцирования суммы, производная от функции y=3x+2cos3x будет иметь вид:
y' = 3 + (-2sin3x)(3)
Сократим выражение:
y' = 3 - 6sin3x
Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Это могут быть точки, в которых функция будет иметь экстремумы или точки разрыва.
Чтобы найти такие точки, решим уравнение 3 - 6sin3x = 0:
3 - 6sin3x = 0
6sin3x = 3
sin3x = 1/2
3x = arcsin(1/2)
3x = π/6 + 2πn или 5π/6 + 2πn, где n - целое число
Решая это уравнение получаем следующие значения для x:
x = π/18 + 2πn/3 или 5π/18 + 2πn/3, где n - целое число
Шаг 3: Теперь мы знаем, что точки, в которых производная равна нулю или не существует, это точки, где функция может иметь экстремумы или точки разрыва. Для определения интервалов возрастания и убывания на промежутках между этими точками, возьмем произвольную точку из каждого интервала и подставим ее в производную.
Выберем несколько произвольных точек между полученными значениями x и определим знак производной на этих интервалах.
Выберем x = 0 (произвольно) и подставим его в производную:
y' = 3 - 6sin3x
y' = 3 - 6sin(3*0)
y' = 3 - 6sin(0)
y' = 3 - 6*0
y' = 3
Так как производная положительна (y' > 0), то это означает, что функция возрастает на интервале от исходной точки до первой найденной точки x.
Теперь выберем x = π/6 и подставим его в производную:
y' = 3 - 6sin3x
y' = 3 - 6sin(3*π/6)
y' = 3 - 6sin(π/2)
y' = 3 - 6*1
y' = -3
Так как производная отрицательна (y' < 0), это означает, что функция убывает на интервале от первой найденной точки x до второй найденной точки x.
Аналогично, для остальных интервалов вы можете выбирать произвольные точки и определить знак производной на них.
При анализе знака производной на каждом интервале, учтите, что значение синуса может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значений угла, поэтому вам может потребоваться знание трехкутников и основных значений тригонометрических функций.
В итоге, интервалы возрастания и убывания функции y=3x+2cos3x будут зависеть от положения точек, в которых производная равна нулю или не существует, и знака производной на этих интервалах. Таким образом, полученные интервалы помогут определить, когда функция возрастает и убывает.
Шаг 1: Найдем производную функции y по x. Для этого используем правила дифференцирования:
По правилу дифференцирования суммы, производная от функции y=3x+2cos3x будет иметь вид:
y' = 3 + (-2sin3x)(3)
Сократим выражение:
y' = 3 - 6sin3x
Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Это могут быть точки, в которых функция будет иметь экстремумы или точки разрыва.
Чтобы найти такие точки, решим уравнение 3 - 6sin3x = 0:
3 - 6sin3x = 0
6sin3x = 3
sin3x = 1/2
3x = arcsin(1/2)
3x = π/6 + 2πn или 5π/6 + 2πn, где n - целое число
Решая это уравнение получаем следующие значения для x:
x = π/18 + 2πn/3 или 5π/18 + 2πn/3, где n - целое число
Шаг 3: Теперь мы знаем, что точки, в которых производная равна нулю или не существует, это точки, где функция может иметь экстремумы или точки разрыва. Для определения интервалов возрастания и убывания на промежутках между этими точками, возьмем произвольную точку из каждого интервала и подставим ее в производную.
Выберем несколько произвольных точек между полученными значениями x и определим знак производной на этих интервалах.
Выберем x = 0 (произвольно) и подставим его в производную:
y' = 3 - 6sin3x
y' = 3 - 6sin(3*0)
y' = 3 - 6sin(0)
y' = 3 - 6*0
y' = 3
Так как производная положительна (y' > 0), то это означает, что функция возрастает на интервале от исходной точки до первой найденной точки x.
Теперь выберем x = π/6 и подставим его в производную:
y' = 3 - 6sin3x
y' = 3 - 6sin(3*π/6)
y' = 3 - 6sin(π/2)
y' = 3 - 6*1
y' = -3
Так как производная отрицательна (y' < 0), это означает, что функция убывает на интервале от первой найденной точки x до второй найденной точки x.
Аналогично, для остальных интервалов вы можете выбирать произвольные точки и определить знак производной на них.
При анализе знака производной на каждом интервале, учтите, что значение синуса может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значений угла, поэтому вам может потребоваться знание трехкутников и основных значений тригонометрических функций.
В итоге, интервалы возрастания и убывания функции y=3x+2cos3x будут зависеть от положения точек, в которых производная равна нулю или не существует, и знака производной на этих интервалах. Таким образом, полученные интервалы помогут определить, когда функция возрастает и убывает.