Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Число будет четным, если последняя цифра четная. В данном случае четырёхзначное число будет четным, если последняя цифра будет 6 или 8.
№1) Пусть последняя цифра будет 6, тогда на первое место можно использовать 3 цифры, на второе место - оставшиеся из 2 цифр и на треть место - 1 цифра.
По правилу произведения, таких четырёхзначных чисел: 3*2*1*1=6
Пусть теперь последней цифро будет 8. Аналогично с №1) получим, что четных таких чисел будет 6.
И по правилу сложения всего таких четырёхзначных чисел можно составить
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
№1) Пусть последняя цифра будет 6, тогда на первое место можно использовать 3 цифры, на второе место - оставшиеся из 2 цифр и на треть место - 1 цифра.
По правилу произведения, таких четырёхзначных чисел: 3*2*1*1=6
Пусть теперь последней цифро будет 8. Аналогично с №1) получим, что четных таких чисел будет 6.
И по правилу сложения всего таких четырёхзначных чисел можно составить