Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a; b] y=3x/(x^2+1) [0; 5]

Показать ответ

Ответ:

Zhurenko13

06.10.2020 05:26

$y = \dfrac{3x}{x^2 + 1} \\ \\
u = 3x; \ v = x^2 + 1 \\ \\ 
y' = (\dfrac{3x}{x^2 + 1})' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} = \dfrac{(3x)'(x^2 + 1) - (x^2 + 1)'3x}{(x^2 + 1)^2} = \\ \\ \dfrac{3(x^2 + 1) - 2x \cdot 3x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{3x^2 + 3 - 6x^2 }{(x^2 + 1)^2} = - \dfrac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2}$
Найдём промежутки монотонности функции:
$- \dfrac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} \geq 0 \\ \\
 \dfrac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} \leq 0 \\ \\
 \dfrac{3(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2} \leq 0 \\ \\ 
 \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2} \leq 0$
Функция на [-1;1] возрастает. Наибольшее значение она будет принимать в точке с абциссой x = 1, т.к. это точка максимума функции.
$y_{max} = y(1) = \dfrac{3}{1 + 1} = 1,5$
На отрезке [0; +∞) функция принимает положительные значения.
Найдем предел данной функции при x -> ∞
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \dfrac{3x}{x^2} }{ \dfrac{x^2}{x^2} + \dfrac{1}{x^2} } = \lim_{x \to \infty} \frac{ \dfrac{3}{x} }{1 + \dfrac{1}{x^2} } = \dfrac{0}{0 + 1} = 0$
Значит, ось Ox - асимптота функции.
Наименьшее значение на заданном отрезке функция будет принимать при x = 0:
$y_{min} = y(0) = \dfrac{3 \cdot 0}{1 + 0 } = 0$
ответ: $y_{min} = 0; \ y_{max} = 1,5.$

Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a; b] y=3x/(x^2+1) [0; 5]