А) Чтобы найти производную выражения 3x^2 - x^3, мы можем использовать правило степенной производной и правило вычитания:
1. Правило степенной производной: Если у нас есть функция вида x^n, то производная этой функции будет равна n * x^(n-1).
Для нашего выражения 3x^2, n = 2, поэтому производная будет равна 2 * 3 * x^(2-1) = 6x.
2. Правило вычитания: Если у нас есть две функции, результат вычитания которых мы хотим найти, мы можем просто найти производные каждой функции и вычесть эти производные друг из друга.
В нашем случае у нас есть две функции - 3x^2 и x^3. Производная первой функции равна 6x (как мы узнали ранее). Производная второй функции будет равна 3 * x^(3-1) = 3 * x^2.
Теперь мы можем вычесть эти производные: 6x - 3 * x^2 = 6x - 3x^2.
Таким образом, производная функции 3x^2 - x^3 равна 6x - 3x^2.
Б) Чтобы найти производную выражения 4x^2 + 6x + 3, мы можем использовать правило степенной производной и правило сложения:
1. Правило степенной производной: Как и раньше, если у нас есть функция вида x^n, то производная этой функции будет равна n * x^(n-1).
Для нашего выражения 4x^2, n = 2, поэтому производная будет равна 2 * 4 * x^(2-1) = 8x.
2. Правило сложения: Если у нас есть две функции, результат сложения которых мы хотим найти, мы можем просто найти производные каждой функции и сложить эти производные.
В нашем случае у нас есть три функции - 4x^2, 6x и 3. Производная первой функции равна 8x (как мы узнали ранее). Производная второй функции будет равна 6 * x^(1-1) = 6 * 1 = 6. Производная третьей функции равна 0 (так как любое число, не зависящее от x, будет иметь производную 0).
Теперь мы можем сложить эти производные: 8x + 6 + 0 = 8x + 6.
Таким образом, производная функции 4x^2 + 6x + 3 равна 8x + 6.
В) Чтобы найти производную выражения l^x * sinx, мы можем использовать правило производной произведения и правило производной синуса:
1. Правило производной произведения: Если у нас есть две функции, результат произведения которых мы хотим найти, то производная этого произведения будет равна производная первой функции, умноженная на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.
В нашем случае у нас есть две функции - l^x и sinx. Производная первой функции немного сложнее, и нам понадобится еще одно правило - правило производной экспоненты.
Правило производной экспоненты: Если у нас есть функция вида a^x, то производная этой функции будет равна ln(a) * a^x, где ln(a) - натуральный логарифм a.
Производная первой функции l^x будет равна ln(l) * l^x = 1 * l^x = l^x.
Производная второй функции sinx будет равна cosx (это является базовым свойством производной синуса).
Теперь мы можем найти производную произведения: l^x * cosx + sinx * l^x.
Таким образом, производная функции l^x * sinx равна l^x * cosx + sinx * l^x.
Г) Чтобы найти производную выражения (x^2-3)^5, мы можем использовать правило производной степенной функции и правило производной вычитания:
1. Правило производной степенной функции: Если у нас есть функция вида (f(x))^n, то производная этой функции будет равна производной внутренней функции, умноженной на n и взятой в степень (n-1).
В нашем случае у нас есть функция (x^2-3)^5, и внутренняя функция это x^2-3. Производная внутренней функции будет равна производной x^2 (как мы знаем из предыдущих примеров) и производной от константы -3 (которая будет равна 0).
Производная x^2 будет равна 2 * x^(2-1) = 2x.
Теперь мы можем найти производную степенной функции: 5 * (x^2-3)^(5-1) * 2x = 10x * (x^2-3)^4.
Таким образом, производная функции (x^2-3)^5 равна 10x * (x^2-3)^4.
Надеюсь, что эти пошаговые объяснения помогут вам лучше понять процесс нахождения производных. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!"
1. Правило степенной производной: Если у нас есть функция вида x^n, то производная этой функции будет равна n * x^(n-1).
Для нашего выражения 3x^2, n = 2, поэтому производная будет равна 2 * 3 * x^(2-1) = 6x.
2. Правило вычитания: Если у нас есть две функции, результат вычитания которых мы хотим найти, мы можем просто найти производные каждой функции и вычесть эти производные друг из друга.
В нашем случае у нас есть две функции - 3x^2 и x^3. Производная первой функции равна 6x (как мы узнали ранее). Производная второй функции будет равна 3 * x^(3-1) = 3 * x^2.
Теперь мы можем вычесть эти производные: 6x - 3 * x^2 = 6x - 3x^2.
Таким образом, производная функции 3x^2 - x^3 равна 6x - 3x^2.
Б) Чтобы найти производную выражения 4x^2 + 6x + 3, мы можем использовать правило степенной производной и правило сложения:
1. Правило степенной производной: Как и раньше, если у нас есть функция вида x^n, то производная этой функции будет равна n * x^(n-1).
Для нашего выражения 4x^2, n = 2, поэтому производная будет равна 2 * 4 * x^(2-1) = 8x.
2. Правило сложения: Если у нас есть две функции, результат сложения которых мы хотим найти, мы можем просто найти производные каждой функции и сложить эти производные.
В нашем случае у нас есть три функции - 4x^2, 6x и 3. Производная первой функции равна 8x (как мы узнали ранее). Производная второй функции будет равна 6 * x^(1-1) = 6 * 1 = 6. Производная третьей функции равна 0 (так как любое число, не зависящее от x, будет иметь производную 0).
Теперь мы можем сложить эти производные: 8x + 6 + 0 = 8x + 6.
Таким образом, производная функции 4x^2 + 6x + 3 равна 8x + 6.
В) Чтобы найти производную выражения l^x * sinx, мы можем использовать правило производной произведения и правило производной синуса:
1. Правило производной произведения: Если у нас есть две функции, результат произведения которых мы хотим найти, то производная этого произведения будет равна производная первой функции, умноженная на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.
В нашем случае у нас есть две функции - l^x и sinx. Производная первой функции немного сложнее, и нам понадобится еще одно правило - правило производной экспоненты.
Правило производной экспоненты: Если у нас есть функция вида a^x, то производная этой функции будет равна ln(a) * a^x, где ln(a) - натуральный логарифм a.
Производная первой функции l^x будет равна ln(l) * l^x = 1 * l^x = l^x.
Производная второй функции sinx будет равна cosx (это является базовым свойством производной синуса).
Теперь мы можем найти производную произведения: l^x * cosx + sinx * l^x.
Таким образом, производная функции l^x * sinx равна l^x * cosx + sinx * l^x.
Г) Чтобы найти производную выражения (x^2-3)^5, мы можем использовать правило производной степенной функции и правило производной вычитания:
1. Правило производной степенной функции: Если у нас есть функция вида (f(x))^n, то производная этой функции будет равна производной внутренней функции, умноженной на n и взятой в степень (n-1).
В нашем случае у нас есть функция (x^2-3)^5, и внутренняя функция это x^2-3. Производная внутренней функции будет равна производной x^2 (как мы знаем из предыдущих примеров) и производной от константы -3 (которая будет равна 0).
Производная x^2 будет равна 2 * x^(2-1) = 2x.
Теперь мы можем найти производную степенной функции: 5 * (x^2-3)^(5-1) * 2x = 10x * (x^2-3)^4.
Таким образом, производная функции (x^2-3)^5 равна 10x * (x^2-3)^4.
Надеюсь, что эти пошаговые объяснения помогут вам лучше понять процесс нахождения производных. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!"