решить двойное неравенство 1<=lx^2-1l<3 Такое неравенство лучше в начале решить графически построением. Тогда сразу видно и понятно, что необходимо найти. Решим аналитически При x^2-1>0 Ix^2-1I=x^2-1 1< x^2-1 <3 2 < x^2 < 4 корень(2) < IxI < 2 Если х< 0 то IxI = -x корень(2) < -x < 2 -2 < x < -корень(2) Если х> 0 то IxI = x корень(2) < x < 2 Получили два интервала решений (-2;-корень(2)] U [корень(2);2) При x^2-1< 0 Ix^2-1I= 1- x^2 1< 1 - x^2 <3 0 < -x^2 < 2 -2 < x^2 < 0 Так х^2 при любых значениях х больше либо равен 0 то имеем одно решение х=0 Следоваетльно неравенство имеет решение если х принадлежит (-2;-корень(2)] U {0} U [корень(2);2) В решении имеем два интервала и целое значение х=0. ответ: (-2;-корень(2)] U {0} U [корень(2);2)
Найдите все значения параметра а ,при которых минимальное значение функции f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0;2 включительно и уравнение равно 3 Уравнение f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 является параболой Найдем значение х при котором парабола имеет минимальное значение y'(x) = 8x-4a y'(x) = 0 или 8x-4a =0 8х = 4а х = (1/2)a Минимум параболы вида ax^2+bx+с можно найти по формуле x = -b/(2a) В нашем случае 4x^2-4ax+a^2-2a+2 a=4 b =-4а x = 4a/(2*4) =(1/2)a Так как отрезок минимума ограничен отрезком от 0 до 2 то можно записать неравенство 0 < х < 2 или 0 < (1/2)a < 2 0 < a < 4 Теперь осталось найти само значение а при котором минимум функции равен 3 Подставим значение х=(1/2)a в уравнение функции y(a/2) = 4*a^2/4 - 4a*a/2 +a^2-2a+2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2 -2a + 2 = 3 2a = -1 a =-1/2 =-0,5( не подходит так как 0 < a < 4 ) Поэтому решения нет
1<=lx^2-1l<3
Такое неравенство лучше в начале решить графически построением. Тогда сразу видно и понятно, что необходимо найти.
Решим аналитически
При x^2-1>0 Ix^2-1I=x^2-1
1< x^2-1 <3
2 < x^2 < 4
корень(2) < IxI < 2
Если х< 0 то IxI = -x
корень(2) < -x < 2
-2 < x < -корень(2)
Если х> 0 то IxI = x
корень(2) < x < 2
Получили два интервала решений
(-2;-корень(2)] U [корень(2);2)
При x^2-1< 0 Ix^2-1I= 1- x^2
1< 1 - x^2 <3
0 < -x^2 < 2
-2 < x^2 < 0
Так х^2 при любых значениях х больше либо равен 0 то имеем одно решение х=0
Следоваетльно неравенство имеет решение если
х принадлежит (-2;-корень(2)] U {0} U [корень(2);2)
В решении имеем два интервала и целое значение х=0.
ответ: (-2;-корень(2)] U {0} U [корень(2);2)
Уравнение f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 является параболой
Найдем значение х при котором парабола имеет минимальное значение
y'(x) = 8x-4a
y'(x) = 0 или 8x-4a =0
8х = 4а
х = (1/2)a
Минимум параболы вида ax^2+bx+с
можно найти по формуле
x = -b/(2a)
В нашем случае 4x^2-4ax+a^2-2a+2
a=4 b =-4а
x = 4a/(2*4) =(1/2)a
Так как отрезок минимума ограничен отрезком от 0 до 2 то можно записать неравенство
0 < х < 2 или 0 < (1/2)a < 2
0 < a < 4
Теперь осталось найти само значение а при котором минимум функции равен 3
Подставим значение х=(1/2)a в уравнение функции
y(a/2) = 4*a^2/4 - 4a*a/2 +a^2-2a+2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2
-2a + 2 = 3
2a = -1
a =-1/2 =-0,5( не подходит так как 0 < a < 4 )
Поэтому решения нет