2) Используем теорему о том, что общая хорда окружностей — то есть отрезок, проходящий через точки их пересечения, — перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей. Эту теорему доказывать нужно или можно использовать без доказательства? Вы её уже доказывали в школе?
3) Найдём площадь треугольника по формуле Герона:
4) Согласно пункту 2, отрезок AC перпендикулярен стороне , а значит, является высотой нашего треугольника. Свяжем площадь, вычисленную по формуле Герона, с формулой площади через сторону и высоту:
5) Теперь рассмотрим треугольник : а) как радиусы малой окружности; б) как радиусы большой окружности; в) — общая сторона. Следовательно, треугольники и равны по трём сторонам, а значит, у них равны и высоты:
2) Найдём диагональ d по теореме Пифагора:
3) Составим функцию длины этой диагонали и через производную найдём её экстремум:
Дискриминант подкоренного многочлена больше нуля — значит там корней нет. Следовательно, функция обнуляется только в одной точке: x=5.
4) Методом интервалов доказываем, что f(5) — точка минимума (а не максимума, если вдруг).
5) Найдём вторую сторону:
ответ: 5 см и 5 см (квадрат).
1) Строим чертёж (см. вложение)
2) Используем теорему о том, что общая хорда окружностей — то есть отрезок, проходящий через точки их пересечения, — перпендикулярна отрезку, соединяющему центры окружностей. Эту теорему доказывать нужно или можно использовать без доказательства? Вы её уже доказывали в школе?
3) Найдём площадь треугольника
4) Согласно пункту 2, отрезок AC перпендикулярен стороне
5) Теперь рассмотрим треугольник
а)
б)
в)
Следовательно, треугольники
6) Следовательно, искомый отрезок
ответ: