Для решения данной задачи можно воспользоваться 3мя фактами:
1) Всего существует 14 разных возможных остатков от деления на 14: 0, 1, 2, ..., 12, 13.
2) Если разность двух чисел кратна n, то остатки этих чисел от деления на n равны.
Док-во: Пусть x1 = an + b, а х2 = сn + d (a, c, n- целые; b, d- натуральные, меньше n, так как это остатки х1 и х2 соответственно от деления на n). Дан факт, что x1 - x2 кратно n, то есть, имеет вид z*n, где z- целое число.
x1 - x2 = z * n
an + b - cn - d = zn
b - d = zn - an + cn
b - d = n (z - a + c). Правая часть кратна n, значит и выражение (b - d) кратно n. Возьмем данное выражение по модулю n
b - d ≡ 0 (mod n)
b ≡ d (mod n), ч.т.д.
3) Необобщенная Теорема Дирихле гласит: "Если взять n кроликов и посадить их в (n-1) клеток, то обязательно найдется хотя бы 1 клетка, в которой будет хотя бы 2 кролика".
Док-во от противного: Пусть, при данном условии, не найдется ни одна клетка с хотя бы двумя кроликами. Тогда, поскольку клеток (n-1), а кролик в одной клетке может быть максимум 1, то максимум может быть 1*(n-1) = n-1 кроликов, а у нас их n. Противоречие.
Итого, получаем такой вывод, что вместо кроликов можно взять данные нам числа, а вместо клеток- остатки от деления на 14. Тогда, если не найдется клеток, в которых будет хотя бы 2 числа, то максимум в одной клетке может быть 1 число, а клеток 14. Тогда максимум может быть 14 чисел, а у нас их 15. Противоречие.
Полученное противоречие показывает, что среди 15ти целых чисел всегда найдутся 2, разность которых кратна 14ти.
Объяснение:
Не системное уравнение, а систему уравнений.
{ 2n*3d = -1
{ 3n + 4d = 24
Решается подстановкой
{ d = (24-3n)/4 = 6 - 3n/4
2n*3(6 - 3n/4) = -1
6n*(6 - 3n/4) = -1
36n - 18n^2/4 = -1
36n - 9n^2/2 = -1
Умножаем всё на 2
72n - 9n^2 = -2
Переносим всё направо
0 = 9n^2 - 72n - 2
D/4 = (b/2)^2 - ac = (-36)^2 - 9(-2) = 1296 + 18 = 1314 = (3√146)^2
n1 = (-b/2 - √(D/4))/a = (36 - 3√146)/9 = (12 - √146)/3
n2 = (-b/2 + √(D/4))/a = (12 + √146)/3
d1 = 6 - 3*n1/4 = 6 - (12 - √146)/4 = (12 + √146)/4
d2 = 6 - 3*n2/4 = 6 - (12 + √146)/4 = (12 - √146)/4
Для решения данной задачи можно воспользоваться 3мя фактами:
1) Всего существует 14 разных возможных остатков от деления на 14: 0, 1, 2, ..., 12, 13.
2) Если разность двух чисел кратна n, то остатки этих чисел от деления на n равны.
Док-во: Пусть x1 = an + b, а х2 = сn + d (a, c, n- целые; b, d- натуральные, меньше n, так как это остатки х1 и х2 соответственно от деления на n). Дан факт, что x1 - x2 кратно n, то есть, имеет вид z*n, где z- целое число.
x1 - x2 = z * n
an + b - cn - d = zn
b - d = zn - an + cn
b - d = n (z - a + c). Правая часть кратна n, значит и выражение (b - d) кратно n. Возьмем данное выражение по модулю n
b - d ≡ 0 (mod n)
b ≡ d (mod n), ч.т.д.
3) Необобщенная Теорема Дирихле гласит: "Если взять n кроликов и посадить их в (n-1) клеток, то обязательно найдется хотя бы 1 клетка, в которой будет хотя бы 2 кролика".
Док-во от противного: Пусть, при данном условии, не найдется ни одна клетка с хотя бы двумя кроликами. Тогда, поскольку клеток (n-1), а кролик в одной клетке может быть максимум 1, то максимум может быть 1*(n-1) = n-1 кроликов, а у нас их n. Противоречие.
Итого, получаем такой вывод, что вместо кроликов можно взять данные нам числа, а вместо клеток- остатки от деления на 14. Тогда, если не найдется клеток, в которых будет хотя бы 2 числа, то максимум в одной клетке может быть 1 число, а клеток 14. Тогда максимум может быть 14 чисел, а у нас их 15. Противоречие.
Полученное противоречие показывает, что среди 15ти целых чисел всегда найдутся 2, разность которых кратна 14ти.