1. Начнем с того, чтобы избавиться от корней на обеих сторонах уравнения. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат.
(√(3x+7) + (2-3x)³)² = (√(11-3x))²
Посмотрим на первую часть уравнения - (√(3x+7) + (2-3x)³)². Для удобства решения, давайте введем новую переменную, скажем, y, равную (√(3x+7) + (2-3x)³). Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:
y² = (√(11-3x))²
2. Раскроем квадраты по обе стороны уравнения:
y² = 11 - 3x
3. Теперь вернемся к исходному уравнению и применим ту же операцию – возвести обе стороны уравнения в квадрат.
1. Начнем с того, чтобы избавиться от корней на обеих сторонах уравнения. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат.
(√(3x+7) + (2-3x)³)² = (√(11-3x))²
Посмотрим на первую часть уравнения - (√(3x+7) + (2-3x)³)². Для удобства решения, давайте введем новую переменную, скажем, y, равную (√(3x+7) + (2-3x)³). Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:
y² = (√(11-3x))²
2. Раскроем квадраты по обе стороны уравнения:
y² = 11 - 3x
3. Теперь вернемся к исходному уравнению и применим ту же операцию – возвести обе стороны уравнения в квадрат.
(√(3x+7) + (2-3x)³)² = (√(11-3x))²
(3x+7) + (2-3x)³ + 2 * √(3x+7) * (2-3x)³ = 11 - 3x
4. Подставим y² равное 11 - 3x:
y² + 2 * √(3x+7) * (2-3x)³ = 11 - 3x
11 - 3x + 2 * √(3x+7) * (2-3x)³ = 11 - 3x
5. Обратим внимание, что 11 - 3x на обеих сторонах уравнения вычитается. Упростим уравнение:
2 * √(3x+7) * (2-3x)³ = 0
6. Поскольку перемножение равно нулю только в двух случаях - когда один из множителей равен нулю, решим два уравнения отдельно:
2 = 0
(2-3x)³ = 0
7. Первое уравнение 2 = 0 не имеет решений, так как 2 не может быть равно нулю.
8. Решим второе уравнение (2-3x)³ = 0:
2-3x = 0
-3x = -2
x = 2/3
9. Итак, мы получили одно решение уравнения: x = 2/3.
Проверим наше решение, подставив его в исходное уравнение:
√(3*(2/3)+7) +(2-3*(2/3))³=√(11-3*(2/3))
После упрощения и вычислений мы получим:
2 + 0 = 2
Проверка подтверждает наше решение - x = 2/3.
Итак, окончательный ответ: x = 2/3.
Шаг 1: Найдем логарифмы с обеих сторон уравнения. Это позволит избавиться от степени и перевести уравнение в эквивалентное уравнение без логарифмов.
log4(9x+9) = log2(6)
Шаг 2: Применим свойство логарифма, которое гласит, что log_a(b^c) = c * log_a(b)
Таким образом, мы можем переписать уравнение:
log4(9x+9) = log2(6)
(log4(9x+9))/(log4) = (log2(6))/(log2)
Шаг 3: Найдем значения логарифмов.
log4(9x+9) = 2
log2(6) = log4(4*6) = log4(4) + log4(6) = 1 + log4(6)
Таким образом, уравнение примет вид:
(log4(9x+9))/(log4) = 1 + log4(6)
Шаг 4: Дополнительно упростим уравнение.
(log4(9x+9))/(log4) - 1 = log4(6)
Применим свойство логарифма, которое гласит, что log_a(a^b) = b.
(log4(9x+9))/(log4) - 1 = log4(6)
log4(9x+9) - log4(4) = log4(6)
Упростим это уравнение:
log4(9x+9)/4 - 1 = log4(6)
Шаг 5: Найдем общий знаменатель.
(log4(9x+9) - 4)/4 = log4(6)
Шаг 6: Избавимся от логарифмов.
4((log4(9x+9) - 4)/4) = 4log4(6)
Упростим выражение:
log4(9x+9) - 4 = log4(6)^4
log4(9x+9) - 4 = 4log4(6)
Шаг 7: Раскроем степень.
log4(9x+9) - 4 = 4log4(6)
log4(9x+9) - 4 = log4(6^4)
Упростим это уравнение:
log4(9x+9) - 4 = log4(1296)
Шаг 8: Применим свойство логарифма, которое гласит, что log_a(a^b) = b.
log4(9x+9) - 4 = log4(6^4)
log4(9x+9) - 4 = 4
Шаг 9: Выразим log4(9x+9).
log4(9x+9) = 4 + 4
log4(9x+9) = 8
Шаг 10: Применим свойство логарифма, которое гласит, что a^log_a(b) = b.
4^(log4(9x+9)) = 4^8
9x+9 = 4^8
Шаг 11: Найдем значение 4^8.
9x+9 = 65536
Шаг 12: Решим уравнение.
9x = 65536 - 9
9x = 65527
x = 65527/9
x = 7270.78
Ответ: корень уравнения 2^log4(9x+9)=6 равен x = 7270.78.