Выясним вид и расположение графика функции y=-x²+4 относительно начала координат. График - парабола. Поскольку коэффициент перед х² отрицательный, то она располагается ветвями вниз, следовательно большинство её значений отрицательны. Далее, y(-x) = -(-x)²+4 = -x²+4 = y(x), следовательно, функция четная и её график будет симметричен относительно оси Y Чтобы узнать, принимает ли функция неотрицательные значения, приравняем y нулю. Мы получим уравнение -х²+4=0. Если существуют действительные корни этого уравнения, то они будут точками, в которых график функции пересекает ось Х, а при значениях х, находящихся между этими корнями функция будет положительной. -х²+4=0; х²=4 → х=√4 Корнями будут х₁=-2, х₂=2 Итак, график функции - парабола, направленная ветвями вниз, симметричная относительно оси Y и пресекающая ось Х в точках -2 и 2. В силу симметрии этих точек и характера функции мы можем утверждать, что её максимум достигается в точке х = (-2+2)/2 = 0. Значение максимума у(0) равно -0²+4 = 4. Понятно, что функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями, т.е. x<-2 и x>2. В другой форме записи x ∈ (-∞;-2) ∪ x ∈ (2;∞)
4x³+1/x³+2=((2x³)²+2x³+1)/x³. Если обозначить t=2x³, то количество подобных слагаемых в исходном выражении равно количеству слагаемых в многочлене 4032 степени (t²+t+1)²⁰¹⁶. Рассмотрим процесс раскрытия скобок в этом произведении. Возьмем произвольное слагаемое t^k, где k≤4032. Покажем, что коэффициент при нем не 0. Если k=2m, то m≤2016, и значит это слагаемое можно получить, перемножая t² из m скобок (t²+t+1), а из остальных скобок взяв 1. Если k=2m+1, то m≤2015 и значит t^k можно получить, взяв t² из m скобок, взяв t из одной скобки, а из остальных скобок взяв 1. Т.к. все получающиеся коэффициенты положительны, то при каждом слагаемом t^k будет ненулевой коэффициент, а значит общее количество слагаемых равно степени многочлена плюс 1, т.е. ответ 4033.
График - парабола. Поскольку коэффициент перед х² отрицательный, то она располагается ветвями вниз, следовательно большинство её значений отрицательны.
Далее, y(-x) = -(-x)²+4 = -x²+4 = y(x), следовательно, функция четная и её график будет симметричен относительно оси Y
Чтобы узнать, принимает ли функция неотрицательные значения, приравняем y нулю. Мы получим уравнение -х²+4=0. Если существуют действительные корни этого уравнения, то они будут точками, в которых график функции пересекает ось Х, а при значениях х, находящихся между этими корнями функция будет положительной.
-х²+4=0; х²=4 → х=√4
Корнями будут х₁=-2, х₂=2
Итак, график функции - парабола, направленная ветвями вниз, симметричная относительно оси Y и пресекающая ось Х в точках -2 и 2.
В силу симметрии этих точек и характера функции мы можем утверждать, что её максимум достигается в точке х = (-2+2)/2 = 0.
Значение максимума у(0) равно -0²+4 = 4.
Понятно, что функция принимает отрицательные значения вне интервала между корнями, т.е. x<-2 и x>2.
В другой форме записи x ∈ (-∞;-2) ∪ x ∈ (2;∞)
График функции дан во вложении.