Постройте график функции у=(х+3)²-1.Используя этот график, найдите: 1)Нули функций 2)При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения 3)Промежуток возрастания и промежуток убывания функции 4)Область значений функции
2) Положительные значения функции:
Функция принимает положительные значения, когда y > 0. Подставим это условие в уравнение:
(y+1) > 0
((x+3)² -1) + 1 > 0
(x+3)² > 0
Так как квадрат всегда положителен или равен нулю, то (x+3)² > 0 при любых значениях x, кроме x = -3. То есть, функция принимает положительные значения при всех значениях x, за исключением x = -3.
3) Промежуток возрастания и убывания функции:
Функция возрастает на интервале, где производная больше нуля, и убывает на интервале, где производная меньше нуля.
Найдем производную функции:
y = (x+3)²-1
y' = 2(x+3)
Так как производная всегда положительна (2 > 0), функция возрастает на всей числовой прямой.
4) Область значений функции:
Область значений функции - это множество значений y, которые принимает функция. Мы уже знаем, что функция возрастает на всей числовой прямой, поэтому область значений функции - это все положительные числа и ноль.
Таким образом, график функции y=(x+3)²-1 имеет нули функции -1 и -5, функция принимает положительные значения на всей числовой прямой, промежуток возрастания функции - это от минус бесконечности до плюс бесконечности, промежуток убывания функции - отсутствует, и область значений функции - все положительные числа и ноль.
1) Нули функции:
Нули функции определяются по точкам, где функция пересекает ось x. Для этого приравняем функцию к нулю и найдем значения x:
(x+3)²-1 = 0
Раскрываем скобки:
x² + 6x + 9 - 1 = 0
x² + 6x + 8 = 0
Для решения данного квадратного уравнения мы можем использовать теорему Виета или формулу дискриминанта. Используем формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac
D = 6² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня.
x₁ = (-b + √D) / 2a
x₁ = (-6 + √4) / (2*1)
x₁ = -3 + 2 / 2
x₁ = -1
x₂ = (-b - √D) / 2a
x₂ = (-6 - √4) / (2*1)
x₂ = -3 - 2 / 2
x₂ = -5
Таким образом, нули функции равны -1 и -5.
2) Положительные значения функции:
Функция принимает положительные значения, когда y > 0. Подставим это условие в уравнение:
(y+1) > 0
((x+3)² -1) + 1 > 0
(x+3)² > 0
Так как квадрат всегда положителен или равен нулю, то (x+3)² > 0 при любых значениях x, кроме x = -3. То есть, функция принимает положительные значения при всех значениях x, за исключением x = -3.
3) Промежуток возрастания и убывания функции:
Функция возрастает на интервале, где производная больше нуля, и убывает на интервале, где производная меньше нуля.
Найдем производную функции:
y = (x+3)²-1
y' = 2(x+3)
Так как производная всегда положительна (2 > 0), функция возрастает на всей числовой прямой.
4) Область значений функции:
Область значений функции - это множество значений y, которые принимает функция. Мы уже знаем, что функция возрастает на всей числовой прямой, поэтому область значений функции - это все положительные числа и ноль.
Таким образом, график функции y=(x+3)²-1 имеет нули функции -1 и -5, функция принимает положительные значения на всей числовой прямой, промежуток возрастания функции - это от минус бесконечности до плюс бесконечности, промежуток убывания функции - отсутствует, и область значений функции - все положительные числа и ноль.