Прямая l заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат оавс (о — начало координат, а(0; 4), с(4; 0)) на две фигуры. задайте следующие функции f в зависимости от значения а: а) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину а; б) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину с; в) f(a) — отношение, в котором прямая l делит площадь квадрата (считая от фигуры, содержащей точку а).

Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку , — это площадь фигуры под точкой до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры, содержащей точку , — это площадь фигуры над точкой и до нашей прямой. Перейдем к решению задачи.
==========
а) Необходимо найти зависимость площади фигуры, содержащей точку , от величины .
Прежде всего, покажем, что следует рассмотреть несколько случаев получаемых при отсечении от квадрата прямой фигур: может получиться как треугольник (смотрите рисунок 2), так и трапеция (смотрите рисунок 3).
Рассмотрим оба случая отдельно.
СЛУЧАЙ 1 (треугольник)
Имеем треугольник (смотрите рисунок 2). Очевидно, что размеры сторон треугольника меняются вместе с величиной , а значит от величины зависит и площадь треугольника. Как же найти эту площадь? Из рисунка 2 видно, что при любом значении (при эта фигура уже не треугольник, а трапеция) треугольник остается прямоугольным, поскольку , отсюда следует, что площадь треугольника можно найти как полупроизведение катетов: . Необходимо выразить эту площадь через величину , то есть узнать, как катеты и зависят от . Поразмышляем над этим:
При любом значении катет (из условия точка имеет координату , а точка координату , отсюда ). никак не зависит от величины . Вы можете в этом убедиться, «покрутив» прямую, заданную функцией , но не забывайте, что , а также то, что если мы рассматриваем случай с треугольником, то .
Теперь подумаем, как от величины зависит катет . Это не очень просто, но я постараюсь показать эту зависимость. Посмотрите на рисунок 4. Нас интересует сторона квадрата . Координата этой прямой . С другой стороны, эту прямую пересекает другая прямая, заданная функцией . Раз эти прямые пересекаются, значит их координаты равны. Я пометил где , а где на рисунке. Так совпало, что координата и есть искомый нами катет. Прямая задается функцией . Нас интересует тот самый , что является катетом треугольника. То есть тот , который получается при . Запишем это:

Мы нашли зависимость катета от величины .
Напомню формулу площади:

Где , . Найдем теперь зависимость площади треугольника от :

Отлично, зависимость найдена. Но это только при . А что будет в случае, если ? Подумаем.
СЛУЧАЙ 2 (трапеция)
Как мы уже отметили, при  точкой ограничена трапеция  (смотрите рисунок 3). Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. В нашем случае имеем:

Сразу отметим какие стороны трапеции зависят от . Основание и высота от не зависят. Зависит только меньшее основание . Найдем эту зависимость (она куда проще, чем в случае с треугольником). Смотрите рисунок 5. Как видно из рисунка, , . Подумаем, какова зависимость малого основания трапеции от величины . Видим, что
Отсюда:
Остается найти . Тут начинается та же история с пересечением двух прямых. Причем , а на этот раз . Получаем:

Вспоминаем где нам нужно было   .
Теперь же найдем площадь трапеции:

======
Итак, мы решили только первую часть задания. Что же выходит? Площадь фигуры, содержащей вершину , зависит от величины , причем по-разному (два случая). Запишем это в виде системы: