Мы знаем, что x1 и x2 являются корнями первого уравнения, поэтому можем заменить x1^2 и x2^2 на их значения:
4(x1^2 + x2^2) + 2x1x2 + 2px1 + px2 + q = 0.
Мы также знаем, что x1x2 равно c/a, где a и c - коэффициенты первого уравнения. Подставим это значение:
4(x1^2 + x2^2) + 2(c/a) + 2px1 + px2 + q = 0.
Теперь вставим значения x1 и x2:
4((7 + √233)/2)^2 + 4((7 - √233)/2)^2 + 2(c/a) + 2px1 + px2 + q = 0.
Упростим выражение и приведем его к виду уравнения, используя связь между корнями и коэффициентами:
63 + 4√233 + 233 + 63 - 4√233 + 2(c/a) + 14p + 7p + q = 0.
Уберем повторяющиеся члены и объединим похожие:
329 + 16p + 2(c/a) + q = 0.
Мы также можем использовать другое уравнение x1 + 2x2 и получить:
(x1 + 2x2)^2 + p(x1 + 2x2) + q = 0.
Аналогично приводим и упрощаем это уравнение:
(x1^2 + 4x1x2 + 4x2^2) + p(x1 + 2x2) + q = 0.
У нас дано уравнение x^2 - 7x - 46 = 0, и нам нужно найти его корни x1 и x2. Для этого мы можем использовать формулу квадратного корня:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),
где a, b и c - коэффициенты уравнения. В нашем случае, a = 1, b = -7 и c = -46. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
x1 = (-(-7) ± √((-7)^2 - 4(1)(-46))) / (2(1)),
x1 = (7 ± √(49 + 184)) / 2,
x1 = (7 ± √233) / 2.
Таким образом, наши корни x1 и x2 - это (7 + √233) / 2 и (7 - √233) / 2 соответственно.
Теперь нам нужно найти корни другого уравнения x^2 + px + q = 0, где числа 2x1 + x2 и x1 + 2x2 являются корнями.
Подставим 2x1 + x2 в уравнение и получим:
(2x1 + x2)^2 + p(2x1 + x2) + q = 0.
Раскроем скобки и упростим выражение:
4x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + 2px1 + px2 + q = 0.
Мы знаем, что x1 и x2 являются корнями первого уравнения, поэтому можем заменить x1^2 и x2^2 на их значения:
4(x1^2 + x2^2) + 2x1x2 + 2px1 + px2 + q = 0.
Мы также знаем, что x1x2 равно c/a, где a и c - коэффициенты первого уравнения. Подставим это значение:
4(x1^2 + x2^2) + 2(c/a) + 2px1 + px2 + q = 0.
Теперь вставим значения x1 и x2:
4((7 + √233)/2)^2 + 4((7 - √233)/2)^2 + 2(c/a) + 2px1 + px2 + q = 0.
Упростим выражение и приведем его к виду уравнения, используя связь между корнями и коэффициентами:
63 + 4√233 + 233 + 63 - 4√233 + 2(c/a) + 14p + 7p + q = 0.
Уберем повторяющиеся члены и объединим похожие:
329 + 16p + 2(c/a) + q = 0.
Мы также можем использовать другое уравнение x1 + 2x2 и получить:
(x1 + 2x2)^2 + p(x1 + 2x2) + q = 0.
Аналогично приводим и упрощаем это уравнение:
(x1^2 + 4x1x2 + 4x2^2) + p(x1 + 2x2) + q = 0.
Подставляем значения x1 и x2:
((7 + √233)/2)^2 + 4((7 + √233)/2)((7 - √233)/2) + 4((7 - √233)/2)^2 + p((7 + √233)/2 + 2(7 - √233)/2) + q = 0.
Упрощаем выражение:
63 + 4√233 + 233 + 63 - 4√233 + 4(c/a) + 7p + 14p + q = 0.
Опять убираем повторяющиеся члены:
329 + 21p + 4(c/a) + q = 0.
Мы видим, что оба уравнения имеют ту же самую сумму (329), ту же переменную q и разные коэффициенты p и (c/a).
Таким образом, наше уравнение для p + q будет:
21p + 4(c/a) + q = 0.
Из предыдущего уравнения мы знаем, что 2(c/a) + q = -329, поэтому:
21p + (-329) = 0,
21p = 329,
p = 329/21.
Теперь подставляем это значение в уравнение и находим q:
21(329/21) + q = 0,
329 + q = 0,
q = -329.
Таким образом, p+q = (329/21) + (-329) = 329/21 - 329/1 = -329/1 + 329/21 = ((-329)(21) + 329)/21 = (-6899 + 329) /21 = -6570/21 = -310.
Таким образом, p + q = -310.