1 cпособ. n³+m³+k³=(n³-n)+(m³-m)+(k³-k)+(n+m+k)=n(n²-1)+m(m²-1)+k(k²-1)+(n+m+k)=(n-1)n(n+1)+(m-1)m(m+1)+(k-1)k(k+1)+(n+m+k). Т.к. произведение трех последовательных чисел делится на 6 и по условию n+m+k тоже делится на 6, то все доказано.
2 cпособ. Куб числа имеет такой же остаток при делении на 6, как и само число (это легко проверить, перебрав все числа вида 6k, 6k+1, ... 6k+5). По условию n+m+k делится на 6, т.е. сумма остатков от деления n, m, k делится на 6, а значит и сумма остатков кубов (у них те же остатки) тоже делится на 6.
Если n+m+k≡0 (mod 6), то n+m≡-k(mod 6). Значит -k³≡(n+m)³=n³+m³+3nm(n+m)≡n³+m³-3nmk (mod 6). Т.е. n³+m³+k³≡3nmk (mod 6). Т.к. среди чисел n, m, k обязательно есть четное (иначе их сумма была бы нечетным числом и значит не делилась бы на 6), то 3nmk≡0 (mod 6), т.е. n³+m³+k³≡0 (mod 6).
1.Решите неравенство методом интервалов
-х(в квадрате)-12х<0
-x^2-12x<0
-x(x-12)<0
x(x-12)>0
ищем критические точки х=0 - первая точка, х-12=0, х=12 - вторая точка
+ - +
012>x
x=13: x(x-12)=13*(13-12)>0
значитна промежутке (12;+бесконечность) л.ч. неравенства больше 0
при переходе через точку 12, меняем знак с + на -, и получаем, что на промежутке (0;12) л.ч. неравенства меньше 0
при переходе через точку 0 меняем знак с - на + ,и получаем, что на промежутке
(-бесконечность; 0) л.ч неравенства больше 0,
таким образом решением неравенства будет
(-бесконечность; 0)обьединение(12;+бесконечность)
2.При каких значениях параметра m уравнение
4х(в квадрате)-2mx+9=0
имеет два различных корня?
уравнение имеет два различных корня если дискриминант больше 0, т.е.
D=(-2m)^2-4*4*9=4m^2-144>0
4(m^2-36)>0
m^2-36>0
(m-6)(m+6)>0
ищем критические точки m+6=0, m=-6 - первая точка, m-6=0, m=6 - вторая точка(-6<6)
+ - +
(-6)6>m
x=7: (m-6)(m+6)=(7-6)(7+6)>0
значитна промежутке (6;+бесконечность) л.ч. неравенства больше 0
при переходе через точку 6, меняем знак с + на -, и получаем, что на промежутке (-6;6) л.ч. неравенства меньше 0
при переходе через точку -6 меняем знак с - на + ,и получаем, что на промежутке
(-бесконечность; -6) л.ч неравенства больше 0,
таким образом решением неравенства будет
m Є (-бесконечность; -6)обьединение(6;+бесконечность)
Т.к. произведение трех последовательных чисел делится на 6 и по условию n+m+k тоже делится на 6, то все доказано.
2 cпособ. Куб числа имеет такой же остаток при делении на 6, как и само число (это легко проверить, перебрав все числа вида 6k, 6k+1, ... 6k+5). По условию n+m+k делится на 6, т.е. сумма остатков от деления n, m, k делится на 6, а значит и сумма остатков кубов (у них те же остатки) тоже делится на 6.
Если n+m+k≡0 (mod 6), то n+m≡-k(mod 6).
Значит -k³≡(n+m)³=n³+m³+3nm(n+m)≡n³+m³-3nmk (mod 6).
Т.е. n³+m³+k³≡3nmk (mod 6).
Т.к. среди чисел n, m, k обязательно есть четное (иначе их сумма была бы нечетным числом и значит не делилась бы на 6), то 3nmk≡0 (mod 6), т.е.
n³+m³+k³≡0 (mod 6).