Реши методом алгебраического сложения систему уравнений

Показать ответ

Ответ:

nastyayudina21

04.04.2021 21:39

task/30433512 Найти такие a, при котором уравнение: 2x²-|x|+ a=0 имеет более 3 корней

решение 2x²- |x|+ a=0 ⇔|x|²- (1/2)*|x|= -a/2 ⇔ ( | x| - 1/4 )² = - a/2 +1/16

( | x| - 1/4 )² = (1 -8a)/16 графическое решение см ПРИЛОЖЕНИЕ

не имеет корней , если (1 -8a)/16 < 0 ⇔ a > 1/8 a ∈(1/8 ; ∞)

два корня , если [ (1-8a)/16 =0 ; (1 -8a)/16 >1/16. a ∈( -∞,0) ∪ {1/8}

три корня , если (1 -8a)/16 = 1/16 a = 0

четыре корня , если 0 < (1 -8a)/16 <1/16 ⇔ a ∈ ( 0 ; 1/8 )

ответ : a∈ ( 0 ; 1/8 )

0 < (1 -8a)/16 <1/16 ⇔ 0 < 1 -8a < 1 ⇔ -1 < -8a < 0 ⇔ 0 < 8a < 1 ⇔ 0 < a < 1/8

Спараметром квадратного уравнения. надо найти такие a, при котором уравнение: 2x^2-|x|+a=0 более 3 к

0,0(0 оценок)

Ответ:

Сателла1

02.01.2020 21:02

Наш многочлен имеет вид

P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Пусть меньший его корень равен x_1 . Так как корни образуют арифметичекую прогрессию, можем записать:

$x_2=x_1+1\\x_3=x_1+2\\x_4=x_1+3$

Многочлен раскладывается на линейный множители следующим образом:

P(x)=a(x-x_1)(x-x_1-1)(x-x_1-2)(x-x_1-3)

Напрашивается замена t=x-x_1 . Тогда

P(t)=at(t-1)(t-2)(t-3)=a(t^4-6t^3+11t^2-6t)

Нам нужно найти минимумы этой функции, поэтому дифференцируем:

P'(t)=a(4t^3-18t^2+22t-6)

Теперь требуется найти корни этого многочлена. Используя теорему о рациональных корнях многочлена можно найти корень $t=\frac{3}{2}$

Согласно теореме Безу, P'(t) должен делиться на $4(t-\frac{3}{2} )=(4t-6)$ . Разложим на множители, чтобы найти остальные корни:

P'(t)=a(4t^3-6t^2-12t^2+18t+4t-6)=a[t^2(4t-6)-3t(4t-6)+(4t-6)]=a(4t-6)(t^2-3t+1)

Решив квадратное уравнение t^2-3t+1=0 , найдем корни

$t_{1, 2}=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$

Расположив корни

$\frac{3}{2},\;\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$

на числовой прямой и использовав метод интервалов, узнаем, что производная меняет знак с минуса на плюс в точках $t=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$ , это и есть точки минимума. Переходя обратно к многочлену от x, получаем точки