Данное уравнение (f′(x))2 > 1 является неравенством, а не уравнением. Неравенство означает, что мы ищем значения переменной x, при которых данное условие выполняется. Для решения неравенства (f′(x))2 > 1, нам необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти первую производную функции f(x). В данном случае, f(x) = arcsin(8x), поэтому f′(x) - это производная arcsin(8x).
Для нахождения производной arcsin(8x) нам потребуется использовать цепное правило (chain rule) - производная внешней функции умноженная на производную внутренней функции. В данном случае, внешняя функция - arcsin(u), а внутренняя функция - 8x. Производная arcsin(u) равна 1/√(1-u^2). Производная 8x равна 8.
Применяя цепное правило, производная arcsin(8x) равна (1/√(1-(8x)^2)) * 8 = 8/√(1-64x^2).
Для начала, упростим неравенство: (64/(1-64x^2)) > 1.
Перемножим обе стороны неравенства на (1-64x^2): 64 > (1-64x^2).
Развернем неравенство: 1 - 64x^2 < 64.
Перенесем все в одну сторону: -64x^2 < 63.
Разделим обе части неравенства на -64, но помним при этом, что при делении на отрицательное число нужно поменять направление неравенства: x^2 > -63/64.
Теперь, нам нужно найти диапазон значений x, для которых выполняется неравенство x^2 > -63/64.
Поскольку квадрат любого числа всегда больше или равен 0, то данное неравенство будет выполняться для всех значений x.
Таким образом, решением данного неравенства (f′(x))^2 > 1 при заданной функции f(x) = arcsin(8x) будет любое значение x.
Надеюсь, данное объяснение позволяет лучше понять, как решать подобные задачи и как приходить к правильному ответу. Пожалуйста, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы, если вам что-то не ясно.
1. Найти первую производную функции f(x). В данном случае, f(x) = arcsin(8x), поэтому f′(x) - это производная arcsin(8x).
Для нахождения производной arcsin(8x) нам потребуется использовать цепное правило (chain rule) - производная внешней функции умноженная на производную внутренней функции. В данном случае, внешняя функция - arcsin(u), а внутренняя функция - 8x. Производная arcsin(u) равна 1/√(1-u^2). Производная 8x равна 8.
Применяя цепное правило, производная arcsin(8x) равна (1/√(1-(8x)^2)) * 8 = 8/√(1-64x^2).
Таким образом, f′(x) = 8/√(1-64x^2).
2. Возвести полученную производную в квадрат: (f′(x))^2 = (8/√(1-64x^2))^2 = (64/(1-64x^2)).
3. Решить полученное квадратное неравенство (f′(x))^2 > 1.
Для начала, упростим неравенство: (64/(1-64x^2)) > 1.
Перемножим обе стороны неравенства на (1-64x^2): 64 > (1-64x^2).
Развернем неравенство: 1 - 64x^2 < 64.
Перенесем все в одну сторону: -64x^2 < 63.
Разделим обе части неравенства на -64, но помним при этом, что при делении на отрицательное число нужно поменять направление неравенства: x^2 > -63/64.
Теперь, нам нужно найти диапазон значений x, для которых выполняется неравенство x^2 > -63/64.
Поскольку квадрат любого числа всегда больше или равен 0, то данное неравенство будет выполняться для всех значений x.
Таким образом, решением данного неравенства (f′(x))^2 > 1 при заданной функции f(x) = arcsin(8x) будет любое значение x.
Надеюсь, данное объяснение позволяет лучше понять, как решать подобные задачи и как приходить к правильному ответу. Пожалуйста, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы, если вам что-то не ясно.