Решить дифференциальное уравнение y'=yx^3

Замечаем, что в правой части данного уравнения - целое число. В левой части стоит произведение, оно тогда тоже должно быть целым. Это означает, что x + 1 и y - 2 - целые числа. Какие же целые числа могут давать в произведении 2? Это 1 и 2, -1 и -2, -2 и -1, 2 и 1. Поэтому приравняем каждый множитель к этим числам и решим ряд систем уравнений:

x + 1 = 1              x = 0

y - 2 = 2               y = 4  Это первая пара чисел.

x + 1 = 2           x = 1

y - 2 = 1            y = 3      Это вторая пара.

x + 1 = -1          x = -2

y - 2 = -2           y = 0

x + 1 = -2         x = -3

y - 2 = -1          y = 1

Таким образом, пары чисел такие: (0;4), (1;3); (-2;0), (-3;1)

Абсциссу вершины параболы находим по следующей формуле:
x=-b/2a (в данном случае b - это 6, a - это -1)
x=-6/-2
x=3
Теперь вставляем 3 вместо x в функции, чтобы найти ординату вершины параболы:
y=-3^2+6*3-8
y=-9+18-8
y=1
Координаты вершины параболы - это (3 ; 1)

Чтобы парабола пересекалась с осью X, нужно, чтобы y=0:

0=-x^2+6x-8
x^2-6x+8=0
D=36-32=4
x1=4   x2=2
Координаты точек пересечения  параболы с осью X - это (4 ; 0) и (2 ; 0) 

Чтобы парабола пересекалась с осью Y нужно, чтобы x=0:

y=-0^2+6*0-8
y=-8
Координаты точки пересечения параболы с осью Y - это (0 ; -8)