Войти Регистрация Спроси ai-bota

$sin^8(x)+cos^8(x)=\frac{17}{16}cos^2(2x);$ решить это уравнение. ответ: $\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}n, n Є Z;$

Показать ответ

Ответ:

denishustov

15.10.2020 15:38

$\sin^{8}x + \cos^{8}x = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x$

$(\sin^{2}x)^{4} + (\cos^{2}x)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x$

$\left(\dfrac{1 - \cos 2x}{2} \right)^{4} + \left(\dfrac{1 + \cos 2x}{2} \right)^{4} = \dfrac{17}{16} \cos^{2}2x \ \ \ | \cdot 16$

$(1 - \cos 2x)^{4} + (1 + \cos 2x)^{4} = 17 \cos^{2}2x$

$(1) \ (1 - \cos 2x)^{4} = 1 - 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x - 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x\\(2) \ (1 + \cos 2x)^{4} = 1 + 4\cos 2x + 6\cos^{2} 2x + 4\cos^{3}2x + \cos^{4}2x$

Складываем (1) и (2) выражения и получаем:

$2 + 12 \cos^{2} 2x + 2\cos^{4}2x = 17\cos^{2}2x$

$2\cos^{4}2x - 5\cos^{2}2x + 2 = 0$

Замена: $\cos^{2} 2x = t, \ t \in [0; \ 1]$

Характеристическое уравнение:

$2t^{2} - 5t + 2 = 0$

$D = (-5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$t_{1} = \dfrac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 + 3}{4} = 2 1$ — не удовлетворяет условию

$t_{2} = \dfrac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}$

Обратная замена:

$\cos^{2} 2x = \dfrac{1}{2}$

$\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \sqrt{\dfrac{1}{2} } \ \ } \atop {\cos 2x = -\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \right.$

$\displaystyle \left [ {{\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ \ \ (1) } \atop {\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ (2)} \right.$

Решим (1) уравнение:

$\cos 2x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \pm \dfrac{\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z$

Решим (2) уравнение:

$\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$2x = \pm \arccos \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \left(\pi - \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \left(\pi - \dfrac{\pi}{4} \right) + 2 \pi n, \ n \in Z$

$2x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \pm \dfrac{3\pi}{8} + \pi n , \ n \in Z$

Изобразим полученные ответы на единичной окружности и найдем общее решение.

Из рисунка видим, что через каждые $\dfrac{\pi}{4}$ получаем ответ.

Таким образом, общий ответ:

$x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z$

ответ: $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}, \ n \in Z$

решить это уравнение. ответ:

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

mmmmm269

04.12.2021 12:16

Какова относительная частота появления гласной буквы в следующем высказывании «Математика – царица наук»....

hameleon5

02.06.2020 13:40

с алгеброй, фотка ниже:...

krivisasha4

15.02.2020 03:31

Нова копіювальна машина за 1 хв копіює на 10 аркушів більше, ніж стара машина. За 4 хв роботи на ній зробили на 16 копій більше, ніж на старій машині за 7 хв. Скільки...

Anasteysha2610

02.05.2023 19:51

Расстояние между двумя пристанями равно 226,2 км. Из них одновременно навстречу друг другу вышли две лодки, скорости которых в стоячей воде равны. Через 2,9 ч. лодки...

avritsevich0116

23.03.2020 15:27

При каком значении азначение выраже-ния (х – а)(х + 8) - (х + 4)(х – 1) не зависит от х? подробное решение ...

ляляля06

11.04.2020 22:40

Сызықтық функция графигі тек: 1) i және iii коордширекте; 2) іі және іv координаталық ширектерде; 3) i жәнекоординаталык ширектерде; 4) іі және іv координаталық шибеко)...

Fan111111

31.07.2022 23:51

Найдите корни уравнения,использую формулу квадрата уравнения(короче через дискриминант). 23 ! [tex] \frac{2x + 5}{2} - \frac{x {}^{2} +10x }{10} = 0[/tex]...

missvolkova2001

18.10.2022 00:13

А) {x+y=1 { x-y=1 б) {x+y=-2 {x-y=0 решите плз систему нужно построить график...

vfedkina35

15.07.2022 14:16

10. Найдите сумму одночлена 9x⁴y⁴ и произведения одночленов2xy³ и -5x³y...

qwerty2569

12.05.2023 11:09

На стороні АС рівносторонього трикутника АВС обрано точку М, а на продовженні сторони ВС за вершину С – точку N, таким чином, що ВМ = МN. Доведіть, що АМ = СN....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку