Решите уравнение:
(2x²−3x)²+ 7*(2x²−3x) −1 8=0
решение : замена t =2x²−3x
t² + 7t - 18 = 0 (квадратное уравнение D=7² - 4*1*(-18) =11 ², t =(-9±11)/2, но ...) ⇔ t² - 2t +9t - 18 =0 ⇔ t (t - 2)+ 9(t -2) =(t -2)(t+9) =0 ⇒ t = - 9 или t =2.
a) 2x²−3x = -9 ⇔2x²− 3x+ 9 =0 ; D =(-3)² - 4*2*9 = -63 < 0 ⇒нет решений
б) 2x²−3x =2 ⇔ 2x²−3x -2 =0 }} D =(-3)² -4*2*(-2) =5² ⇔ x =(3 ±5) 4 .
* * * По т. Виета 2x²−3x -2 =0 ⇔ x²−(3/2)x -1=0 ⇔ x²−(2 -1/2)*x +2 *(-1/2) =0 * * *
x₁ = -1/2 ; x₂ =(3+5)/5 =2.
ответ : - 1/2 ; 2 .
для начала решаем
квадратное уравнение
ах²+bx+c=0
находим корни
для определенности пусть
х1 < x2
варианта два :
(1)
a)корни есть х1 < x2
D=b²-4ac>0
тогда смотрим какое значение
принимает функция у(х)=ах²+bx+c
при а>0
при любом х0<x1
у(х0) >0 (случай синего графика)
и при прохождении
через корень х1 значение нашей функции меняет знак с плюса на минус
и далее при прохождении через х2 с минуса на плюс
то есть неравенство
ах²+bx+c >0, a>0
( синий график)
выполняется при
х€(-∞, x1)V(x2, +∞)
б) корни есть х1<х2
(D=b²-4ac>0)
у(х)=ах²+bx+c
при а<0
при любом х0<x1
у(х0) <0 (случай зеленого графика)
и при прохождении
через корень х1 значение нашей функции меняет знак с минуса на плюс
и далее при прохождении через х2 с плюса на минус
то есть неравенство ах²+bx+c >0, a<0
( зеленый график)
выполняется при
х€(х1,х2)
(2)
а)
корней нет
а>0
ax²+bx+c>0
будет выполняться всегда,
то есть х€(-∞;+∞)
(оранжевый график)
б) корней нет (D=b²-4ac<0)
а<0
ax²+bx+c>0
не будет выполняться,
то есть х €∅
(черный график)
случай х1=х2 (D=0)
рассмотрите сами по аналогии
Решите уравнение:
(2x²−3x)²+ 7*(2x²−3x) −1 8=0
решение : замена t =2x²−3x
t² + 7t - 18 = 0 (квадратное уравнение D=7² - 4*1*(-18) =11 ², t =(-9±11)/2, но ...) ⇔ t² - 2t +9t - 18 =0 ⇔ t (t - 2)+ 9(t -2) =(t -2)(t+9) =0 ⇒ t = - 9 или t =2.
a) 2x²−3x = -9 ⇔2x²− 3x+ 9 =0 ; D =(-3)² - 4*2*9 = -63 < 0 ⇒нет решений
б) 2x²−3x =2 ⇔ 2x²−3x -2 =0 }} D =(-3)² -4*2*(-2) =5² ⇔ x =(3 ±5) 4 .
* * * По т. Виета 2x²−3x -2 =0 ⇔ x²−(3/2)x -1=0 ⇔ x²−(2 -1/2)*x +2 *(-1/2) =0 * * *
x₁ = -1/2 ; x₂ =(3+5)/5 =2.
ответ : - 1/2 ; 2 .