Добрый день! Решим вместе данное дробно-рациональное уравнение.
1. Сначала произведем приведение дробей к общему знаменателю. В данном уравнении общим знаменателем будет (x-5)(x+5). Приведем каждую дробь к данному знаменателю:
(x-7)/(x-5) + 20/(x²-25) = 6/(x+5)
Чтобы привести первую дробь к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель на (x+5):
Таким образом, мы привели все дроби к общему знаменателю.
2. Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
((x^2 - 2x - 35) + 20)/(x²-25) = 6/(x+5)
(x^2 - 2x - 35 + 20)/(x²-25) = 6/(x+5)
(x^2 - 2x - 15)/(x²-25) = 6/(x+5)
3. Избавимся от знаменателей, умножив оба выражения на (x²-25):
(x^2 - 2x - 15)(x+5) = 6(x²-25)
(x^3 + 3x^2 - 15x - 70) = 6x² - 150
4. Приведем подобные слагаемые:
x^3 + 3x^2 - 15x - 70 = 6x² - 150
x^3 + 3x^2 - 15x - 6x² + 150 + 70 = 0
x^3 - 3x^2 - 15x + 220 = 0
5. Решим получившееся кубическое уравнение. К сожалению, нет простых способов решения кубических уравнений, поэтому мы воспользуемся численными методами или графическим способом.
Другой вариант - использовать калькулятор с функцией решения уравнений.
Проверим, можно ли подобрать рациональные корни для данного уравнения.
По теореме о рациональных корнях уравнения, если существует рациональный корень, то он будет делителем последнего коэффициента (220) и будет делителем старшего коэффициента (1). Проверим все возможные делители 220: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±11, ±20, ±22, ±44, ±55, ±110, ±220.
Мы пробуем подставить эти значения в уравнение и если получаем равенство, то это является рациональным корнем уравнения.
Допустим, мы подставляем x=1:
1 - 3 + 15 - 220 = 0
То есть x=1 является рациональным корнем уравнения.
6. Далее мы можем разделить исходное уравнение на (x-1), чтобы получить квадратное уравнение:
где a = 1, b = -2, c = -220. Подставим значения в формулу:
D = (-2)² - 4(1)(-220) = 4 + 880 = 884
Дискриминант равен 884.
8. Если дискриминант больше нуля, то у квадратного уравнения есть два действительных корня. Если дискриминант равен нулю, то у уравнения есть один корень (корни совпадают). Если дискриминант меньше нуля, то у уравнения нет действительных корней.
В нашем случае дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два действительных корня.
Используя формулу квадратного уравнения x = (-b±√D)/2a, найдем корни:
1. Сначала произведем приведение дробей к общему знаменателю. В данном уравнении общим знаменателем будет (x-5)(x+5). Приведем каждую дробь к данному знаменателю:
(x-7)/(x-5) + 20/(x²-25) = 6/(x+5)
Чтобы привести первую дробь к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель на (x+5):
(x-7)*(x+5)/((x-5)*(x+5)) + 20/(x²-25) = 6/(x+5)
Упростим:
(x^2 - 2x - 35)/((x-5)(x+5)) + 20/(x²-25) = 6/(x+5)
Осталось привести вторую дробь к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби является разностью квадратов, поэтому его можно разложить:
(x-7)*(x+5)/((x-5)(x+5)) + 20/((x-5)(x+5)) = 6/(x+5)
Таким образом, мы привели все дроби к общему знаменателю.
2. Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
((x^2 - 2x - 35) + 20)/(x²-25) = 6/(x+5)
(x^2 - 2x - 35 + 20)/(x²-25) = 6/(x+5)
(x^2 - 2x - 15)/(x²-25) = 6/(x+5)
3. Избавимся от знаменателей, умножив оба выражения на (x²-25):
(x^2 - 2x - 15)(x+5) = 6(x²-25)
(x^3 + 3x^2 - 15x - 70) = 6x² - 150
4. Приведем подобные слагаемые:
x^3 + 3x^2 - 15x - 70 = 6x² - 150
x^3 + 3x^2 - 15x - 6x² + 150 + 70 = 0
x^3 - 3x^2 - 15x + 220 = 0
5. Решим получившееся кубическое уравнение. К сожалению, нет простых способов решения кубических уравнений, поэтому мы воспользуемся численными методами или графическим способом.
Другой вариант - использовать калькулятор с функцией решения уравнений.
Проверим, можно ли подобрать рациональные корни для данного уравнения.
По теореме о рациональных корнях уравнения, если существует рациональный корень, то он будет делителем последнего коэффициента (220) и будет делителем старшего коэффициента (1). Проверим все возможные делители 220: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±11, ±20, ±22, ±44, ±55, ±110, ±220.
Мы пробуем подставить эти значения в уравнение и если получаем равенство, то это является рациональным корнем уравнения.
Допустим, мы подставляем x=1:
1 - 3 + 15 - 220 = 0
То есть x=1 является рациональным корнем уравнения.
6. Далее мы можем разделить исходное уравнение на (x-1), чтобы получить квадратное уравнение:
(x^3 - 3x^2 - 15x + 220)/(x-1) = (x-1)(x^2 - 2x - 220) / (x-1)
x^2 - 2x - 220 = 0
7. Решим полученное квадратное уравнение.
Воспользуемся здесь формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac
где a = 1, b = -2, c = -220. Подставим значения в формулу:
D = (-2)² - 4(1)(-220) = 4 + 880 = 884
Дискриминант равен 884.
8. Если дискриминант больше нуля, то у квадратного уравнения есть два действительных корня. Если дискриминант равен нулю, то у уравнения есть один корень (корни совпадают). Если дискриминант меньше нуля, то у уравнения нет действительных корней.
В нашем случае дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два действительных корня.
Используя формулу квадратного уравнения x = (-b±√D)/2a, найдем корни:
x₁ = (-(-2) + √884) / (2*1) = (2 + √884)/2 = 1 + √221
x₂ = (-(-2) - √884) / (2*1) = (2 - √884)/2 = 1 - √221
Таким образом, полное решение уравнения - x=1 + √221, x=1 - √221.
Надеюсь, данный ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.