А) Пусть O – центр окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. АО – биссектриса угла BAC. AOD – прямоугольный и равнобедренный треугольник, его угол OAD равен 45°. Следовательно, угол BAC равен 90°. Б) Пусть BF = x. Согласно теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 5, CF = CD = 15 и BE = BF. Согласно теореме Пифагора, BC² = AC² + AB². (15 + x)² = 20² + (5 + x)². x = 10. Следовательно, BC = 25. sin ∠ABC = AC/BC = 20/25 = 4/5. S △BEF = ½ BE * BF sin ∠ABC = ½ * 10 * 10 * 4/5 = 40. ответ: 40.
Объяснение:
1) Числа образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 1.
S = (a1+aк)/2 * n, где n - количество, равное 199-101 = 98 чисел.
По-другому формула запишется:
S = (a1 + a1 +(n-1)d)/2 * n = (2a1 + (n-1)d)/2 * n
a1 = 101, n = 98, d = 1
S = (2* 101 + 97 * 1)/2 * 98 = 149 * 98 = 14602
2) Характеристическое свойство геометрической прогрессии:
bn² = bn+1 * bn-1
bn = 2x - 3
bn-1 = x + 1
bn+1 = x + 6
(2x - 3)² = (x + 1)(x + 6) ⇒ 4x² - 12x + 9 = x² + 7x + 6 ⇒ 3x² - 19x + 3 = 0 ⇒ x² - 19/3x + 1 = 0 ⇒ x1 + x2 = 19/3 по теореме Виета.
Б) Пусть BF = x. Согласно теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 5, CF = CD = 15 и BE = BF. Согласно теореме Пифагора, BC² = AC² + AB².
(15 + x)² = 20² + (5 + x)².
x = 10.
Следовательно, BC = 25.
sin ∠ABC = AC/BC = 20/25 = 4/5.
S △BEF = ½ BE * BF sin ∠ABC = ½ * 10 * 10 * 4/5 = 40.
ответ: 40.