№1а) Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы должны разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения. В данном случае:
(3x + 7)dy - (y - 8)dx = 0
Перенесем все члены с y на одну сторону и все члены с x на другую сторону:
(3x + 7)dy = (y - 8)dx
Далее, разделим обе части на соответствующие переменные:
dy / (y - 8) = dx / (3x + 7)
Теперь мы можем проинтегрировать обе части. Интегралы будут иметь вид:
∫(dy / (y - 8)) = ∫(dx / (3x + 7))
ln|y - 8| = (1/3)ln|3x + 7| + C
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили общее решение данного дифференциального уравнения.
№1б) В данном случае у нас также есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
5dy = (x^4 + 8x^2 + 9)dx
Разделим обе части уравнения на соответствующие переменные:
dy = (x^4 + 8x^2 + 9)dx / 5
Теперь мы можем проинтегрировать обе части:
∫dy = (1/5)∫(x^4 + 8x^2 + 9)dx
y = (1/5)((1/5)x^5 + (8/3)x^3 + 9x) + C
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили общее решение данного дифференциального уравнения.
№2) Для решения данного однородного дифференциального уравнения второго порядка, мы можем использовать характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид:
r^2 - b*r + 1 = 0
где b - произвольная постоянная.
Для нахождения частных решений, мы должны рассмотреть различные случаи в зависимости от корней характеристического уравнения.
№3) Данная функция y = x^4 - 5x^2 + 4 является параболой четвертой степени. Для исследования функции и построения ее графика, мы можем проанализиров
Это система квадратных уравнений. Тем не менее, я могу вам решить эту систему.
Вы можете начать с того, чтобы выразить y² из первого уравнения и подставить во второе.
Из первого уравнения:
y² = (7x² - 43) / 5
Подставим это во второе уравнение:
3x² + 2*(7x² - 43) / 5 = 35
15x² + 2*(7x² - 43) = 175
15x² + 14x² - 86 = 175
29x² = 261
x² = 261 / 29
x² = 9
x = ±3
Теперь подставим x = 3 и x = -3 в одно из уравнений (пусть во второе) для получения y:
Для x = 3:
3*(3)² + 2y² = 35
27 + 2y² = 35
2y² = 8
y² = 4
y = ±2
Для x = -3:
3*(-3)² + 2y² = 35
27 + 2y² = 35
2y² = 8
y² = 4
y = ±2
Таким образом, у нас есть четыре решения:
(3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)
Объяснение:
№1а) Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы должны разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения. В данном случае:
(3x + 7)dy - (y - 8)dx = 0
Перенесем все члены с y на одну сторону и все члены с x на другую сторону:
(3x + 7)dy = (y - 8)dx
Далее, разделим обе части на соответствующие переменные:
dy / (y - 8) = dx / (3x + 7)
Теперь мы можем проинтегрировать обе части. Интегралы будут иметь вид:
∫(dy / (y - 8)) = ∫(dx / (3x + 7))
ln|y - 8| = (1/3)ln|3x + 7| + C
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили общее решение данного дифференциального уравнения.
№1б) В данном случае у нас также есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
5dy = (x^4 + 8x^2 + 9)dx
Разделим обе части уравнения на соответствующие переменные:
dy = (x^4 + 8x^2 + 9)dx / 5
Теперь мы можем проинтегрировать обе части:
∫dy = (1/5)∫(x^4 + 8x^2 + 9)dx
y = (1/5)((1/5)x^5 + (8/3)x^3 + 9x) + C
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили общее решение данного дифференциального уравнения.
№2) Для решения данного однородного дифференциального уравнения второго порядка, мы можем использовать характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид:
r^2 - b*r + 1 = 0
где b - произвольная постоянная.
Для нахождения частных решений, мы должны рассмотреть различные случаи в зависимости от корней характеристического уравнения.
№3) Данная функция y = x^4 - 5x^2 + 4 является параболой четвертой степени. Для исследования функции и построения ее графика, мы можем проанализиров