Алгебра: Решите уравнение:, где - целая часть числа

Заметим, что , то есть — целое число. Это означает, что , где ; Имеем: ; Теперь надо отметить, что число лежит между двумя кубами: и ; Пусть . Тогда ; Но , тогда . Решим это неравенство:Докажем, что для решений нет. Действительно, касательная к в точке имеет вид ; Более того, для выпукла вниз (); Значит, для ; Осталось проверить значение 1, которое подходит.Значит, и ; Если , то аналогично и неравенство уже справедливо для всех ; Но поэтому , что не имеет решений при отриц. . Здесь аналогично. Рассмотрим...

Решите уравнение:
,
где - целая часть числа

Показать ответ

Ответ:

Mizukage

13.10.2020 17:32

Заметим, что $x^{3}=3+[x]$ , то есть x^3 — целое число. Это означает, что $x=\sqrt[3]{m},\; m\in\mathbb{Z}$ , где m=x^3 ; Имеем: $m=3+[\sqrt[3]{m}]$ ; Теперь надо отметить, что число лежит между двумя кубами: $n^{3}$ и (n+1)^3 ; Пусть . Тогда $[\sqrt[3]{m}]=n$ ; Но $m\geq n^3$ , тогда $3+n\geq n^3$ . Решим это неравенство:

Докажем, что для $n\geq 2$ решений нет. Действительно, касательная к x^3 в точке $x_{0}=2$ имеет вид 12(x-2)+8 ; Более того, для x^3 выпукла вниз ( (x^3)''=6x ); Значит, для $n\geq 2$ $n^3\geq 12(n-2)+8n+3$ ; Осталось проверить значение 1, которое подходит.

Значит, m=4 и $x=\sqrt[3]{4}$ ; Если $m\leq 0$ , то аналогично $n=[\sqrt[3]{m} ]$ и неравенство уже справедливо для всех $n\leq 0$ ; Но $m\leq (n+1)^3$ поэтому $3+n \leq (n+1)^3$ , что не имеет решений при отриц. . Здесь аналогично. Рассмотрим касательную в точке $-1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ ; Тогда она имеет вид: $x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ; По выпуклости вверх на интервале $(-\infty,\; -1)$ можно записать неравенство для $n\leq -1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ : $(n+1)^3\leq x+\frac{1}{\sqrt{3}}+1-(\frac{1}{\sqrt{3}})$ ; Тем самым, остается проверить значения n=-1 и n=0 . Они не подходят, откуда заключаем, что решение единственно.