Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

Показать ответ

Ответ:

Gameskill

15.10.2020 08:53

$\begin{cases} x'=2x+4y\\ y'=x+5y\end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

x''=2x'+4y'

Подставим в него соотношение для y' из второго уравнения:

x''=2x'+4(x+5y)

x''=2x'+4x+20y

Из полученного уравнения отнимем первое уравнение системы, умноженное на 5:

$x''-5\cdot x'=2x'+4x+20y-5\cdot(2x+4y)$

x''-5x'=2x'+4x+20y-10x-20y

x''-7x'+6x=0

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-7\lambda+6=0$

$(\lambda-1)(\lambda-6)=0$

$\lambda_1=1;\ \lambda_2=6$

$\Rightarrow x=C_1e^t+C_2e^{6t}$

Найдем х':

$x'=C_1e^t+6C_2e^{6t}$

Выразим у из первого уравнения:

$y=\dfrac{x'-2x}{4}$

Находим у:

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2(C_1e^t+C_2e^{6t})}{4}$

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2C_1e^t-2C_2e^{6t}}{4}$

$\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}C_1e^t+C_2e^{6t}$

Условие для задачи Коши:

$\begin{cases} C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=2.3\end{cases}$

$\begin{cases} C_1+C_2=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1+C_2=2.3\end{cases}$

От первого уравнения отнимем второе:

$C_1+C_2-\left(-\dfrac{1}{4}C_1+C_2\right)=1.2-2,3$

$C_1+C_2+\dfrac{1}{4}C_1-C_2=-1.1$

$\dfrac{5}{4}C_1=-1.1$

C_1=-0.88

Выражаем из первого уравнения C_2 :

C_2=1.2-C_1

C_2=1.2-(-0.88)

C_2=2.08

Частное решение:

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=-\dfrac{1}{4}\cdot(-0.88)e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=0.22e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Ксения80200

21.03.2020 04:08

Алгебра. Соч.Соч в вложении.Решите все задания. 1. Найдите коэффициент при х3 в биномиальном разложении [2] 2. Найдите множество точек координатной плоскости, которое...

nubjoper

04.11.2020 05:48

Найдите путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от t = 0 до t = 5, если скорость движения меняется по закону: v = 8t - 0,02t2...

radkov02p08713

19.04.2022 20:06

Расположите числа в порядке возрастания:√0,16;0,4(4);11/25...

zukhra9087

24.10.2020 04:28

Отдел печати завели новый принтер , производительность которого была на 3 страницы в минуту больше,чем у старого принтера. после 4 часов работы новый принтер выполнил...

SkiJu

04.08.2021 20:22

Найдите критические точки функции g(x)=x/3 + 3/x...

vikaviktoriyk1

11.10.2022 22:11

1. На каком из рисунков изображён график уравнения у – х2 + 2 = 0?...

dmitriq20061

14.03.2022 20:15

Дослідіть на парність та непарність функцію y=2х-cos2х...

senyacha15

14.03.2022 20:15

6. Тепе - теңдікті дәлелдеңіз(cosx - cosy)2 – (sinx - siny)2=4sin x-y/2cos(x+y)...

gleb3003

01.05.2023 07:14

На рисунке справа вы видите семь фигурок в коробке. Каждую фигурку положили в коробку, двигая строго вниз. Приведите пример, в каком порядке могли укладывать фигурки в...

DYUK1s

20.04.2023 10:38

Раскрасьте мяч, состоящий из 18 частей (как на рисунке справа), в три цвета так, чтобы соседние части были разного цвета (достаточно указать раскраску 9 видимых частей)....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку