Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

Решите задачу Коши для заданной автономной системы дифференциальных уравнений.

Показать ответ

Ответ:

Gameskill

15.10.2020 08:53

$\begin{cases} x'=2x+4y\\ y'=x+5y\end{cases}$

Продифференцируем первое уравнение:

x''=2x'+4y'

Подставим в него соотношение для y' из второго уравнения:

x''=2x'+4(x+5y)

x''=2x'+4x+20y

Из полученного уравнения отнимем первое уравнение системы, умноженное на 5:

$x''-5\cdot x'=2x'+4x+20y-5\cdot(2x+4y)$

x''-5x'=2x'+4x+20y-10x-20y

x''-7x'+6x=0

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-7\lambda+6=0$

$(\lambda-1)(\lambda-6)=0$

$\lambda_1=1;\ \lambda_2=6$

$\Rightarrow x=C_1e^t+C_2e^{6t}$

Найдем х':

$x'=C_1e^t+6C_2e^{6t}$

Выразим у из первого уравнения:

$y=\dfrac{x'-2x}{4}$

Находим у:

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2(C_1e^t+C_2e^{6t})}{4}$

$y=\dfrac{C_1e^t+6C_2e^{6t}-2C_1e^t-2C_2e^{6t}}{4}$

$\Rightarrow y=-\dfrac{1}{4}C_1e^t+C_2e^{6t}$

Условие для задачи Коши:

$\begin{cases} C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1e^0+C_2e^{6\cdot0}=2.3\end{cases}$

$\begin{cases} C_1+C_2=1.2 \\ -\dfrac{1}{4}C_1+C_2=2.3\end{cases}$

От первого уравнения отнимем второе:

$C_1+C_2-\left(-\dfrac{1}{4}C_1+C_2\right)=1.2-2,3$

$C_1+C_2+\dfrac{1}{4}C_1-C_2=-1.1$

$\dfrac{5}{4}C_1=-1.1$

C_1=-0.88

Выражаем из первого уравнения C_2 :

C_2=1.2-C_1

C_2=1.2-(-0.88)

C_2=2.08

Частное решение:

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=-\dfrac{1}{4}\cdot(-0.88)e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$

$\begin{cases} x=-0.88e^t+2.08e^{6t} \\ y=0.22e^t+2.08e^{6t} \end{cases}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Кекушка36

28.04.2022 16:48

Найдите наименьший положительный период функции a) y=1/2sin x/4 б)y=sin x sin 4x -cos x cos 4 x...

danilaandriyanov

07.10.2022 19:25

(а-1)(а+1) (дробная черта) а(в 4 степени) - 2а(во 2 степени) +1...

Ксения80200

21.03.2020 04:08

Алгебра. Соч.Соч в вложении.Решите все задания. 1. Найдите коэффициент при х3 в биномиальном разложении [2] 2. Найдите множество точек координатной плоскости, которое...

nikitamany87

28.05.2021 01:33

Разложите на множетели zx²+yx²+yx+zx+z+y...

nubjoper

04.11.2020 05:48

Найдите путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от t = 0 до t = 5, если скорость движения меняется по закону: v = 8t - 0,02t2...

radkov02p08713

19.04.2022 20:06

Расположите числа в порядке возрастания:√0,16;0,4(4);11/25...

charykovavesna

21.08.2022 12:53

Найти координат вершины пораболы1) y=x^2-102) y=(x-9)^23) y=(x+20)^2+1...

zukhra9087

24.10.2020 04:28

Отдел печати завели новый принтер , производительность которого была на 3 страницы в минуту больше,чем у старого принтера. после 4 часов работы новый принтер выполнил...

SkiJu

04.08.2021 20:22

Найдите критические точки функции g(x)=x/3 + 3/x...

MostQweek

10.06.2022 00:33

Подайте в виде степени выражение...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку