с арифметической прогрессией мол ​

Точка А(x₀;0)
Точка B(0;y₀)
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂)
(x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁)
И точка M(1;8) лежит на прямой АВ
(x₀-1)/(0-8) = (0-1)/(y₀-8)
(x₀-1)/8 = -1/(y₀-8)
(x₀-1)(y₀-8) = 8
y₀-8 = 8/(x₀-1)
y₀ = 8 + 8/(x₀-1) = (8x₀-8+8)/(x₀-1)
y₀ = 8x₀/(x₀-1)
расстояние
r = √(x₀² + (8x₀/(x₀-1))²)
Производная по x₀ (пока без 0 пишем, и так громоздко)
dr/dx = 1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²))
Приравняем производную к нулю
1/(2√(x² + (8x/(x-1))²)) *( 2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²))  = 0
Знаменатель отбросим
2x +2*(8x/(x-1))*(-8/(x-1)²) = 0
x(1 - 64/(x-1)³) = 0
x₁ = 0 - не подходит
64/(x-1)³ = 1
(x-1)³ = 64
x-1 = 4
x₂ = 5 - а вот это желанный минимум расстояния
x₀ = 5
y₀ = 8x₀/(x₀-1) = 40/4 = 10
И длина отрезка
r = √(5²+10²) = √125 = 5√5

Task/27400429

Решите       sin(x+30)+cos(x+60 ) =1+cos2x 

cos(x+60°)+sin(x+30°) =1+cos2x  ;

cosx*cos60° - sinx*sin60° +sinx*cos30° +cosx*sin30° =1+cos2x  ;
(1/2)*cosx  - (√3 /2 )sinx  + sinx* (√3 /2 ) +cosx*(1/2) =2cos²x  ;
cosx = 2cos²x ;
2cosx (cosx -1/2)= 0  ;
cosx =0 ⇒ x =π/2+πn , n ∈Z .
или 
cosx -1/2=0 ⇔cosx =1/2  ⇒ x = ±π/3 +2πk  , k  ∈ Z.

ответ : π/2+πn ,n ∈Z ;  ±π/3 +2πk  , k  ∈ Z.


cos(x+60°)+ cos(90° -(x+30°) ) =1+cos2x ;
cos(x+60°)  +cos(60°- x) =1+cos2x ;
2cos60°*cosx =2cos²x ;
cosx = 2cos²x ;
... дальше как в
* * * * * * *  P.S. * * * * * * *
cos(α+β) =cosαcosβ - sinαsinβ ;
sin(α+β) =sinαcosβ + cosαsinβ ;
cos2x =cos²x -sin²x = 2cos²x - 1⇒1+cos2x =2cos²x ;.
cos(90° - α) =sinα  
cosα+cosβ= 2cos(α+β)/2 *cos(α-β)/2 .