Швидкий потяг проходить 60 км за годину, а пасажирський 40 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкий потяг долає цю відстань на 2 год швидше, ніж пасажирський.
Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d,которое называется разностью прогрессии.
Для всех элементов прогрессии, начиная со второго выполнимо равенство:
Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.
Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.
= + d = (+ d) + d = + 2d,
= + d = (+ 2d) + d = + 3d,
= + d(n-1) = + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.(n≥1)
Пример 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3.
Свойства
1.
2.Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.
3.Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: . Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.Доказательство:
Обратное аналогично
4.Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами
Доказательство:Через сумму:
По индукции:
5.Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:
6.Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:
Задача 1.При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
Решение: …,- арифметическая прогрессия
: остаток 5)
Используя формулу n-го члена прогрессии получаем систему уравнений:
Откуда 4(2d-5)=3d,то 5d=20,то d=4
=3
ответ: d=4
Задача 2. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.
Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады
Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d,которое называется разностью прогрессии.
Для всех элементов прогрессии, начиная со второго выполнимо равенство:
Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.
Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.
= + d = (+ d) + d = + 2d,
= + d = (+ 2d) + d = + 3d,
= + d(n-1)
= + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.(n≥1)
Пример
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3.
Свойства
1.
2.Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.
3.Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
.
Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.Доказательство:
Обратное аналогично
4.Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами
Доказательство:Через сумму:
По индукции:
5.Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:
6.Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:
Задача 1.При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
Решение: …,- арифметическая прогрессия
: остаток 5)
Используя формулу n-го члена прогрессии получаем систему уравнений:
Откуда 4(2d-5)=3d,то 5d=20,то d=4
=3
ответ: d=4
Задача 2. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.
Решение:
Пусть n=1 .
Пусть n=2 .
Так как ,то
ответ: ,,
Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады Көңілі тыныш болып, қажетті тауар алдырып, жәрмеңке реуішті базар ашып, жұрты асқан бай болады