Сократите дробь:
3x²-xy+4x

9x²-6xy+y²+12x-4y​

 4cos^2x - 11sinx - 11 = 0

    4(1-sin²x) - 11sinx - 11 = 0

    4 - 4sin²x - 11sinx - 11 = 0

    - 4sin²x - 11sinx - 7 = 0

    Замена sinx на у, получаем квадратное уравнение:

     -4у² - 11у - 7 = 0

     Квадратное уравнение, решаем относительно y: 

Ищем дискриминант:D=(-11)^2-4*(-4)*(-7)=121-4*(-4)*(-7)=121-(-4*4)*(-7)=121-(-16)*(-7)=121-(-16*(-7))=121-(-(-16*7))=121-(-(-112))=121-112=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√9-(-11))/(2*(-4))=(3-(-11))/(2*(-4))=(3+11)/(2*(-4))=14/(2*(-4))=14/(-2*4)=14/(-8)=-14/8=-1.75;

y_2=(-√9-(-11))/(2*(-4))=(-3-(-11))/(2*(-4))=(-3+11)/(2*(-4))=8/(2*(-4))=8/(-2*4)=8/(-8)=-8/8=-1.

Первый корень отбрасываем (больше 1)

 sinx = -1   х = Arc sin(-1) = kπ + ((-1)^k)*(3π/2).

2)3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0  

Делим обе части уравнения на cos^2x:

3tg²x + 8tgx + 4 = 0     Замена tgx = у. Получаем квадратное уравнение: 3у² + 8у + 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y: 

Ищем дискриминант:D=8^2-4*3*4=64-4*3*4=64-12*4=64-48=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√16-8)/(2*3)=(4-8)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2//3)≈-0.666666666666667;

y_2=(-√16-8)/(2*3)=(-4-8)/(2*3)=-12/(2*3)=-12/6=-2.

Обратная замена: tgx₁ = -2/3    х₁ = πn - arc tg(2/3) =  πn -  0.5880026.

                                  tgx₂ = -2      х₂ = πn - arc tg(2) =   πn -  1.107149.

Остальные примеры решаются аналогично.

Объяснение: №1    1) 12!/Р₁₀ = 12!/10! = 11·12= 132   2)А₆³+С²₇= 6!/ (6-2)! +  7! /(7-2)!·2! = 6!/4! + 7!/ (5!·2!) = 5·6 + 6·7/2 = 30+21=51                                                                                       №2   С а-2)⁶ = С⁶₀·а⁶ - С₆¹·а⁵·2¹ + С₆²·а⁴·2² - С₆³· а·³2³ + С⁴₆· а²·2⁴- С₆⁵·а¹·2⁵+С⁶₆·2⁶ = а⁶ - 6·а⁵·2 +15а⁴·2² - 20а³·2³ +15а²·2⁴- 6а ·2⁵ +2⁶= а⁶ - 12а⁵ +60а⁴ - 160а³ +240а² - 192а  +64                                     №4 Сₙ₊₅³ =8 (n+4)  ⇒ (n+5)!/(n+5-3)! 3! =8(n+4) ⇒ (n+5)!/(n+2)!3! =8(n+4) ⇒  (n+3)(n+4)(n+5)/6 =8(n+4) ⇒      (n+3)(n+4)(n+5) - 48(n+4) =0 ⇒ (n+4)·((n+3)(n+5)-48) =0 ⇒ n+4=0 или n²+8n-33=0. Если n+4=0, то  n₁=- 4 (что невозможно, т.к. n -натуральное число). Если n²+8n-33=0, то дискриминант D=196, n₂=3, n₃=-11  (что невозможно, т.к. n -натуральное число). Значит n=3. Отв: n=3