Тарас стоїть на зупинці. Він хоче пройти до наступної зупинки, відстань
до якої 1 км. Тарас бігає в чотири рази повільніше, ніж автобус, і може
побачити автобус на відстані 2 км. Чи має сенс іти до наступної зупинки, чи є
ризик пропусти автобус? Відповідь обґрунтуйте.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
При каком значении параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения: (x + 4/x)² + (a - 4)(x + 4/x) - 2a²+a +3 =0
ответ: a ∈ ( - 5 ; - 0,5 ) ∪ (3 ; 3,5 ).
Объяснение: Частный случай (для двух неотрицательных чисел) неравенства Коши: (a+b)/2 ≥ √ab . || сред. арифм. ≥ ср. геом. ||
Поэтому: x + 4/x ≥ 4 ,если x >0 или x + 4/x ≤ - 4 ,если x < 0 .
* * * если x < 0: ( (-x) + ( -4/x) ) ≥ √( ( -x)*(-4/x) ) = 2 ⇔ x + 4/x ≤ - 4 * * *
* * * x + 4/x ∉ ( - 4 ; 4 ) * * *
(x + 4/x)² - (4 -a)(x + 4/x) - 2a²+a +3 =0
Это уравнение квадратное относительно x + 4/x ; после замена ( для удобства ) x + 4/x = t , t ∉ ( - 4 ; 4 ) получаем :
t² - (4 - a)t -2a²+a +3 =0 ,
D =(4-a)²-4(-2a²+a +3)=16 -8a +a²+8a²-4a -12 =9a²-12a+4 =(3a -2)² ≥ 0
t₁= (4-a+3a -2)/2 =a+1
t₂ =(4-a -3a +2)/2 =3 -2a.
Если D = 3a -2 = 0 ⇔ a = 2/3 ⇒ t₁ =t₂ = 5/3 ∈ ( - 4; 4 ) → исходное
уравнение не имеет корней .
Исходное уравнение будет имеет ровно 2 различных решения
Система неравенств ( пишу в одной строке, разделены запятой )
а) { a+1 > 4 ; - 4 < 3 -2a < 4 .
⇔ { a > 3 ; - 4 < 2a -3 < 4.⇔ {a > 3 ; - 0,5 < a < 3,5. ⇔
⇒ a ∈ (3 ; 3,5 ).
(3)
( - 0,5)(3,5)
б) { 3 -2a > 4 ; - 4 < a+1 < 4 .
⇔{ 2a - 3 < - 4 ; -4 - 1 < a < 4 -1 .⇔ { a< -0,5 ; -5 < a < 3.
⇒ a ∈ ( -5 ; -0,5 ).
( - 0.5)
( -5)(3)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
в) { a+1 < - 4 ; - 4 < 3 -2a < 4 .
⇔ { a+1 < - 4 ; - 4 < 2a -3 < 4 . ⇔ { a+1 < - 4 ; 1 < 2a+2< 9. ⇒a ∉∅.
{ a+1 < - 4 ; 0,5 < a+1 < 4,5 . ⇒ a ∉∅.
г) { 3 -2a < - 4 ; - 4 < a+1 < 4 .
⇔{ 2a-3 > 4 ; -4 -1 < a < 4 -1 .⇔{ a> 3,5 ; -5 < a < 3 . ⇒a ∉∅
sinx\vee a,
cosx\vee a,
tgx\vee a,
ctgx\vee a,
где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq, a\in R.
Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).
круг тригонометрический
Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.
Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.
Пример 1.
Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси косинусов \frac{1}{2}.
Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2}, – левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.
87
Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.
ен
Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.
Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки \frac{5\pi}{3} указывают точку -\frac{\pi}{3}, что неверно!
Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:
\frac{\pi}{3}+2\pi n
Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».
Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.
Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:
тригонометрические неравенства
Пример 2.
Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.
Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2} – правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.
Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.
г-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.
Пример 3.
Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.
Все значения sinx, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2}, – выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.
67
«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:
6 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z
Пример 4.
Решить неравенство: sinx<1.
Решение:
Кратко:
л
\frac{\pi}{2}+2\pi n
или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.
Пример 5.
Решить неравенство: sinx\geq 1.
Решение:
Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx – [-1;1].
78н
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.
Пример 6.
Решить неравенство: sinx<\frac{1}{3}.
Решение:
Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.
Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.
89
\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n
Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать