Тиематический диктант
Вариант 1
1. Каков будет ответ в решении уравнения cos x = а,
a >1?
2. При каком значении а имеет корни уравнение
cos x = а?
3. На какой оси откладываются значения и при ре-
шении уравнения cos x = а на тригонометриче-
ском круге?
4. В каком промежутке находятся значения arccos a?
5. Решите уравнение tg x = а.
6. Выразите arcsin (-а) через arcsin а.
7. Найдите значение выражения arcos
8. Существует ли значение х, удовлетворяющее
условию cos x = ~
9. Решите уравнение cos x = 0,8 на промежутке
[0; 2n].
10. Найдите все корни уравнения tg x = --
Объяснение:
Дана функция f(x)=x³-3x²-9x.
Общая схема исследования и построения графика функции
При построении графиков функций можно придерживаться следующего плана:
1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть - их нет, поэтому D(f) = R.
2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной - ни та, ни другая.
3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).
Пересечение с осью ОУ: х = 0, у = 0,
с осью ОХ: у = 0, x³-3x²-9x = 0, вынесем х за скобки:
х(x²3x²-9) = 0, отсюда получаем значение первого корня:
х₁ = 0, далее приравниваем нулю квадратный трёхчлен:
x² - 3x - 9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-3)^2-4*1*(-9)=9-4*(-9)=9-(-4*9)=9-(-36)=9+36=45;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₂=(2root45-(-3))/(2*1)=(√45+3)/2=√45/2+3/2 = 3√2/2+1.5 ≈ 4.85410197;
x₃=(-√45-(-3))/(2*1)=(-√45+3)/2=-√45/2+3/2=-3√2/2+1.5≈-1.85410197.
5. Найти асимптоты графика - не имеет.
6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.
f(x)=x³-3x²-9x, f'(x)=3x²-6x-9 приравниваем нулю:
3x²-6x-9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-6)^2-4*3*(-9)=36-4*3*(-9)=36-12*(-9)=36-(-12*9)=36-(-108)=36+108=144;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√144-(-6))/(2*3)=(12-(-6))/(2*3)=(12+6)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;
x₂=(-√144-(-6))/(2*3)=(-12-(-6))/(2*3)=(-12+6)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6=-1.
Критические точки x₁ = 3, x₂ = -1.
7. Найти промежутки монотонности функции: (-∞;-1), (-1;3),(3;+∞).
8. Определить экстремумы функции f(x).
Надо определить знаки производной на промежутках монотонности.
х = -2, у' = 3*4 + 12 - 9 = 15 функция возрастающая,
х = 2, у' = 3*4 - 12 - 9 = -9 функция убывающая,
х = 4, у' = 3*16 - 24 - 9 = 15 функция возрастающая.
9. Вычислить вторую производную f''(x) = 6х - 6 = 6(х - 1).
10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба:
функция вогнутая на промежутках [1, oo),
выпуклая на промежутках (-oo, 1]
11. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Объяснение:1) Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.⇒R= 6-(-3)=9 2)Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других. Отв: ряд содержит 2 моды: 0 и 2. 3) Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Запишем наши данные из таблицы в виде упорядоченного ряда чисел: -3; -1; -1; -1; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 2; 2; 2; 2; 4; 4; 4; 4; 5; 6. Всего чисел в ряду 20 (чётное число), значит медиана М= (2+2)/2=2 4) Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых а= ( -3-1-1 -1+0+ 0+0+ 0+ 0+2+ 2+2+ 2+ 2+ 4+4+ 4+ 4+ 5+6):20=31:20=1,55