Установіть проміжки знакосталості та нулі функц розпешите на листочку, мне нужно точно знать, как єто решить! а) у = x+x³; б) у = 6; в) у = 1-|x|; г) у = -7x; ґ) у = х + 3; д) у = х² -4; е) у = 3√х.
Если обе части уравнения неотрицательны, можно возвести в квадрат, новых корней при этом не возникнет. Заодно пользуемся тем, что |...|^2 = (...)^2: (x^2 + 5x - 4)^2 = (3x - 1)^2 (x^2 + 5x - 4)^2 - (3x - 1)^2 = 0
У первой скобки корни -3, 1 (легко угадать, пользуясь теоремой Виета). У второй скобки корни найдем, выделив полный квадрат: x^2 + 8x - 5 = 0 x^2 + 8x + 16 = 16 + 5 (x + 4)^2 = 21 x = -4 +- sqrt(21)
Нужны корни, которые не меньше 1/3. У первой скобки это 1, у второй - точно не -4 - sqrt(21) < 0 и возможно -4 + sqrt(21).
Сравним -4 + sqrt(21) и 1/3. Обозначим неизвестный значок за v и попереписываем: -4 + sqrt(21) v 1/3 sqrt(21) v 1/3 + 4 sqrt(21) v 13/3 3 sqrt(21) v 13 sqrt(183) v sqrt(169) - отсюда ясно, что v = '>', -4 + sqrt(21) > 1/3.
Получается, у уравнения есть два корня x = 1 и x = -4 + sqrt(21).
ответ. sqrt(21) - 3.
P.S. Можно было не сравнивать sqrt(21) - 4 и 1/3, а поступить иначе. Заметим, что график y = x^2 + 8x - 5 - квадратичная парабола, ветви направлены вверх, ось симметрии x = -4. Тогда если y(1/3) < 0, то больший корень будет больше 1/3.
√(22/3) √ (17/2) √ (8/3) √(19/5)
например вот так
возведем их в квадрат
(22/3) (17/2) (8/3) (19/5)
приводим к наименьшему общему знаменателю (30)
220/30 255/30 80/30 57/30
и располагаем в порядке возрастания
57/30 80/30 220/30 255/30 ⇒255/30 =17/2 ⇒√(17/2 ) -наибольшее.
или так...
возведем их в квадрат и выделим целую часть
(22/3)=7+1/3 (17/2)=8+1/2 (8/3)=2+2/3 (19/5)=3+4/5 ⇒
(17/2)=8+1/2 - наибольшее среди (22/3), (17/2), (8/3), (19/5),
⇒√ (17/2) - наибольшее среди √(22/3), √ (17/2), √(8/3) , √(19/5).
Если обе части уравнения неотрицательны, можно возвести в квадрат, новых корней при этом не возникнет. Заодно пользуемся тем, что |...|^2 = (...)^2:
(x^2 + 5x - 4)^2 = (3x - 1)^2
(x^2 + 5x - 4)^2 - (3x - 1)^2 = 0
Раскладываем по формуле разности квадратов:
(x^2 + 5x - 4 - 3x + 1)(x^2 + 5x - 4 + 3x - 1) = 0
(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 8x - 5) = 0
У первой скобки корни -3, 1 (легко угадать, пользуясь теоремой Виета).
У второй скобки корни найдем, выделив полный квадрат:
x^2 + 8x - 5 = 0
x^2 + 8x + 16 = 16 + 5
(x + 4)^2 = 21
x = -4 +- sqrt(21)
Нужны корни, которые не меньше 1/3. У первой скобки это 1, у второй - точно не -4 - sqrt(21) < 0 и возможно -4 + sqrt(21).
Сравним -4 + sqrt(21) и 1/3. Обозначим неизвестный значок за v и попереписываем:
-4 + sqrt(21) v 1/3
sqrt(21) v 1/3 + 4
sqrt(21) v 13/3
3 sqrt(21) v 13
sqrt(183) v sqrt(169) - отсюда ясно, что v = '>', -4 + sqrt(21) > 1/3.
Получается, у уравнения есть два корня x = 1 и x = -4 + sqrt(21).
ответ. sqrt(21) - 3.
P.S. Можно было не сравнивать sqrt(21) - 4 и 1/3, а поступить иначе. Заметим, что график y = x^2 + 8x - 5 - квадратичная парабола, ветви направлены вверх, ось симметрии x = -4. Тогда если y(1/3) < 0, то больший корень будет больше 1/3.