а)
Дано: y = -x³ + 3*x+3
y'(x) = -3*x² + 3 = -3*(x²-1) = - 3*(x-1)*(x+1)= 0 - первая производная.
Корни: х1 = - 1 и х2 = 1 - точки экстремумов.
Вычисляем.
1) x = -1 ⇒ ymin = 1 , x = 1 ⇒ ymax = 5 - ответ
2) x = 1 ⇒ ymax = 5, x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ
3) x = -1 ⇒ ymax = 1 , x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ
рисунок с графиком .
b) Дано: y = 1/3*x³ - 2.5*x² + 6*x +10
y'(x) = x² - 5x + 6 = (х-2)*(х-3) = 0 - находим корни.
х1 = 2, х2 = 3
1) ymin(0) = 10 ymax(1) = 13 5/6 - ответ
2) ymin(0) = 10 ymax(2,5) = 14 3/5 - ответ
3) ymin(0) = 10 ymax(4) = 15 1/3 - ответ
Рисунок с графиком.
с) Дано: y = x⁴ - 8*x² - 9
y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0
Экстремумы в точках? х1 = - 2, х2 = 0 , х3 = 2.
) ymin(-1) = -16 ymax(0) = -9 - ответ
2) ymin(0) = -9 ymax(3) = 0 - ответ
3) ymin(3) = 0 ymax(5) = 416 - ответ
(x²+2x-15)/(x+2)>0
x²+2x-15=0⇒x1+x2=-2 U x1+x2=-15⇒x1=-5 U x2=3
x+2=0⇒x=-2
_ + _ +
-5 -2 3
x∈(-5;-2) U (3;∞)
2)(x²-2x+6)/(x+1)>x
(x²-2x+6-x²-x)/(x+1)>0
(6-3x)/(x+1)>0
6-3x=0⇒3x=6⇒x=2
x+1=0⇒x=-1
_ + _
-1 2
x∈(-1;2)
3)(6x²-15x+19)/(3x²-6x+7)<2
(6x²-15x+19-6x²+12x-14)/(3x²-6x+7)<0
(5-3x)/(3x²-6x+7)<0
5-3x=0⇒3x=5⇒x=5/3
3x²-6x+7=0
D=36-84=-48<0⇒3x²-6x+7>0 при любом х
5-3x<0
x>5/3
x∈(5/3;∞)
а)
Дано: y = -x³ + 3*x+3
y'(x) = -3*x² + 3 = -3*(x²-1) = - 3*(x-1)*(x+1)= 0 - первая производная.
Корни: х1 = - 1 и х2 = 1 - точки экстремумов.
Вычисляем.
1) x = -1 ⇒ ymin = 1 , x = 1 ⇒ ymax = 5 - ответ
2) x = 1 ⇒ ymax = 5, x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ
3) x = -1 ⇒ ymax = 1 , x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ
рисунок с графиком .
b) Дано: y = 1/3*x³ - 2.5*x² + 6*x +10
y'(x) = x² - 5x + 6 = (х-2)*(х-3) = 0 - находим корни.
х1 = 2, х2 = 3
1) ymin(0) = 10 ymax(1) = 13 5/6 - ответ
2) ymin(0) = 10 ymax(2,5) = 14 3/5 - ответ
3) ymin(0) = 10 ymax(4) = 15 1/3 - ответ
Рисунок с графиком.
с) Дано: y = x⁴ - 8*x² - 9
y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0
Экстремумы в точках? х1 = - 2, х2 = 0 , х3 = 2.
) ymin(-1) = -16 ymax(0) = -9 - ответ
2) ymin(0) = -9 ymax(3) = 0 - ответ
3) ymin(3) = 0 ymax(5) = 416 - ответ
Рисунок с графиком.