В спортивном соревновании учувствуют Антон, Ваня и Дима. Болельщики строят прогнозы: 1) Антон займет – I место, Ваня – II;
2) Антон займет – II место, Дима – III;
3) Ваня займет – I место, Дима – II.
По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из высказываний каждого болельщика истинно другое ложно. Каковы результаты соревнований, если на каждом месте по одному юноше.
2) В спортивном турнире участвовали 3 студента – Петров, Иванов и Сидоров. Перед финалом турнира один болельщик сказал, что первое место займет Петров, второй болельщик сказал, что Сидоров не будет последним, а третий – что Иванову не занять первого места. После игр оказалось, что один болельщик ошибся, а два других угадали. Как распределились места, если никакие два участника не заняли одно и то же место?
3) Вера, Рита, Юля, Света заняли на олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1)Рита – первая, Света – вторая;
2)Рита – вторая, Вера – третья;
3)Юля – вторая, Вера – четвертая.
Как распределились места, если в каждом из ответов только одно утверждение истинно?
ОДЗ: (x+1)/(x-3) ≥0 ⇔ {(x+1)(x-3) ≥0 ; x ≠3 , т.е. x∈(-∞; -1] ∪ (3 ;∞) .
В ОДЗ данное уравнение ⇔ (x-3)(x+1)±3 √(x+1)(x - 3) = (a+2)(a-1).
( знак " -" , если x <3 и знак "+" если x >3 ) ;
заменим √(x+1)(x - 3) =√(x² -2x - 3)= t ≥ 0 получится квадратное уравнение t² ±3t - (a+2)(a-1) =0 с дискриминантом
D =(±3)² +4(a+2)(a-1) = 4a+4a+1 =( 2a +1)² ≥ 0.
рассмотрим два варианта :
a) x∈ (- ∞ ; 1] .
t² - 3t -(a+2)(a-1) =0 ;
t₁ = (3-2a-1) /2 = -(a -1) ;
t₂ = (3+2a+1) /2 = a+2 .
* * * можно было и догадаться [t = -(a-1) ; t = (a+2) . Виет * * *
[√(x² -2x -3) = -(a -1) ; √(x² -2x -3) = a+2 .
---
a₁) a ≤ 1 * * * -(a -1) ≥ 0 * * *
√(x² -2x -3) = -(a -1)
x² -2x -3 = (- (a -1)) ² .
x² -2x - 3 -(a -1)² = 0 . D₁/4 =1 +3 +(a -1)² = 4 +(a -1)² ≥ 2²
x₁=1+√(4 +(a -1)²) ≥ 3 ∉ (-∞; 1].
x₂=1 - √(4 +(a -1)²) ≤ 1. в частности если a=1 ⇒ x =1.
a₂) a ≥ -2 * * * a+2 ≥ 0 * * *
x² -2x -3 = (a+2)² ;
x² -2x -3 - (a+2)² =0 D₂/4 =1 +3 +(a +2)² =4+(a+2)² ≥ 2².
x₁' =1+√(4+(a+2)² ) >1 ∉ (-∞; 1].
x₂'=1 - √(4+(a+2)² ) ≤ 1. в частности , если a= -2 ⇒ x =1. .
b) x > 3
t² +3t -(a+2)(a-1) =0 * * *
t₃ =(-3-2a -1)/2 = -( a +2) ;
t₄ =(-3+2a +1)/2 = (a -1).
* * * t₃=t₂ и t₄ = - t₁ не случайно * * *
b₁) √(x² -2x - 3 ) = -(a+2)
a+2 < 0 * * * (если a = -2 ⇒ [x =1 ; x =3 ∉ ОДЗ (3 ;∞) * * *
x² -2x - 3 = (a+2)² ;
x² -2x -3 -(a +2)² =0 ; D/4 =1+3+(a +2)²= 4 +(a+2)² ≥ 2² .
x₃ =1+ √(4 +(a+2)² ) , если a < - 2.
x₄ =1 - √(2+a ) .∉ (3 ;∞)
b₂) √(x² -2x - 3) = a -1 ;
a >1 (если a =1⇒[ x = -1 ; x =3 ∉ (3 ;∞)
x² -2x - 3 = (a -1)² ;
x² -2x - 3 - (a -1)² =0 ; D/4 = 1 +3+ (a -1)² = 4 +(a -1)² > 2²
x₃' =1+ √(4 +(a-1)² ) , если a > 1
x₄' =1 - √((4 +(a-1)² ) .∉ (3 ;∞)
ответ : 1+ √(4 +(a+2)² ) , если a < - 2;
1 - √(4 +(a+2)² ) , если a ≥ -2 ;
1 - √(4 +(a -1)²) , если а ≤ 1 ; .
1+ √(4 +(a -1)² ) , если a > 1
f'(t) = ((t^2 + 5) - 2t(t - 1))/(t^2 + 5)^2 = (6 - (t - 1)^2)/(t^2 + 5)^2
f'(t) >= 0 при 1 - sqrt(6) <= t <= 1 + sqrt(6) - на этом отрезке она возрастает, вне него - убывает.
Тогда xn возрастает при n < 1 + sqrt(6), убывает при n > 1 + sqrt(6). Так как 3 < 1 + sqrt(6) < 4, то на роль максимального претендуют x3 и x4.
x3 = (3 - 1)/(3^2 + 5) = 2/14 = 1/7
x4 = (4 - 1)/(4^2 + 5) = 3/21 = 1/7
x3 = x4, значит, членов с максимальными значениями 2: n = 3 и n = 4. В ответ пойдёт 3 + 4 = 7.