В стране 130 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Автомобилист находился в некотором городе, из которого вела ровно одна дорога. Проехав по дороге, он оказался во втором городе, из которого вели уже ровно две дороги. Проехав по одной из них, он оказался в третьем городе, из которого вели уже ровно три дороги, и так далее. В какой-то момент, проехав по одной из дорог, он оказался в N-м городе, из которого вели уже ровно N дорог. На этом автомобилист своё путешествие прекратил. (Для каждого 2⩽k⩽N из k-го города выходило ровно k дорог с учётом той, по которой автомобилист в этот город приехал.)

Какое наибольшее значение может принимать N?

В решении.

Объяснение:

Составьте математическую модель задачи и решите ее:

Катер 30 км против течения реки и 12 км по течению за то же время, за которое он может пройти по озеру 44 км. Определите скорость катера по озеру, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Формула движения: S=v*t  

S - расстояние            v - скорость             t – время

х - собственная скорость катера (по озеру).

х + 2 - скорость катера по течению.

х - 2 - скорость катера против течения.

44/х - время катера по озеру.

12/(х + 2) - время катера по течению.

30/(х - 2) - время катера против течения.

По условию задачи уравнение (математическая модель):

12/(х + 2) + 30/(х - 2) = 44/х

Умножить все части уравнения на х(х - 2)(х + 2), чтобы избавиться от дробного выражения:

12*х(х - 2) + 30*х(х + 2) = 44*(х² - 4)

12х² - 24х + 30х² + 60х = 44х² - 176

42х² - 44х² + 36х + 176 = 0

-2х² + 36х + 176 = 0/-2

х² - 18х - 88 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac =324 + 352 = 676         √D=26

х₁=(-b-√D)/2a  

х₁=(18-26)/2

х₁= -8/2 = -4, отбрасываем, как отрицательный.                

х₂=(-b+√D)/2a  

х₂=(18+26)/2

х₂=44/2

х₂=22 (км/час) - скорость катера по озеру.

Проверка:

30/20 + 12/24 = 1,5 + 0,5 = 2 (часа);

44/22 = 2 (часа);

2 = 2, верно.

x^4-7x^2-2x+20>0

добавив и вычев x^2, а число 20 представив в виде суммы 16+1+3, получим равносильное неравенство

x^4-8x^2+x^2-2x+16+1+3>0

группируя, получим равносильное неравенство

(x^4-8x^2+16)+(x^2-2x+1)+3>0

используя формулу квадрата двучлена, получим равносильное неравенство

(x^2-4)^2+(x-1)^2+3>0

которое очевидно выполняется, так как в левой части сумма квадратов двух выражений (неотрицательных) и положительного числа

(квадрат любого выражения неотрицателен!!)

(сумма неотрицательных выражений неотрицательное выражение)

(сумма неотрицательного и положительного положительное выражение)

Доказано