P(5) = 32
Объяснение:
Многочлен 4 степени записывается так:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
В условии нам даны значения:
P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0
P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8
P(4) = a*4^4 + b*4^3 + c*4^2 + d*4 + e = 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0
Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.
Это значит, что в точках x = 1 и x = 4 он имеет минимумы, равные 0.
Берем производную P'(x):
P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 4:
P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0
P'(4) = 4a*4^3 + 3b*4^2 + 2c*4 + d = 256a + 48b + 8c + d = 0
Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8 (2)
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0 (3)
{ 4a + 3b + 2c + d = 0 (4)
{ 256a + 48b + 8c + d = 0 (5)
Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (3).
Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (5).
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8 (2)
{ 0a - 192b - 240c - 252d - 255e = 0 (3)
{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0 (4)
{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0 (5)
Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 3.
И перепишем уравнения немного в другом порядке:
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a - 64b - 80c - 84d - 85e = 0 (3)
Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).
Умножаем (4) на 64 и складываем с (3).
Умножаем (4) на 208 и складываем с (5).
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8 (2)
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 168c + 369d + 576e = 0 (5)
Делим (5) на 3:
{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0 (5)
Умножаем (2) на -12, а (3) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 48c - 120d - 204e = -96
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (3)
Умножаем (2) на -14, а (5) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 56c - 140d - 238e = -112 (2)
0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Последний шаг. Умножаем (4) на -17, а (5) умножаем на 12:
{ 0a + 0b + 0c + 204d + 561e = 1632 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 204d - 552e = -1344 (5)
И складываем (4) и (5):
9e = 288
e = 288 : 9 = 32
Подставляем в (4):
0a + 0b + 0c - 12d - 33*32 = -96 (4)
-12d = 33*32 - 96 = 960
d = -960/12 = -80
Подставляем в (3):
0a + 0b + 4c + 10(-80) + 17*32 = 8 (3)
4с = 80*10 - 17*32 + 8 = 800 - 544 + 8 = 264
c = 264/4 = 66
Подставляем в (2):
0a + b + 2*66 + 3(-80) + 4*32 = 0 (2)
b = -132 + 240 - 128 = -20
Подставляем в (1):
a - 20 + 66 - 80 + 32 = 0 (1)
a = 20 - 66 + 80 - 32 = 2
Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:
P(x) = 2x^4 - 20x^3 + 66x^2 - 80x + 32
И, наконец-то, находим P(5):
P(5) = 2*5^4 - 20*5^3 + 66*5^2 - 80*5 + 32 =
= 2*625 - 20*125 + 66*25 - 400 + 32 =
= 1250 - 2500 + 1650 - 400 + 32 = 32
График этого многочлена на рисунке.
Известно, что функция y = f(x) имеет период T = 3.
Найти периоды разных функций.
От того, что вы прибавите или отнимите число от значения функции, ее период не изменится.
Просто график передвинется вверх или вниз по оси Oy. Поэтому:
1) y = f(x) + 5. Период T = 3
2) y = f(x) - 3. Период T = 3
От того, что вы умножите значение функции на число, изменится не период, а амплитуда, то есть максимальные и минимальные значения функции. Поэтому:
3) y = 2f(x). Период T = 3
И, наконец, от того, что вы поменяете знак функции, период тоже не поменяется. Просто график перевернется. Поэтому:
4) y = -f(x). Период T = 3
Чтобы период изменился, нужно умножать или делить x, а не f(x).
При умножении аргумента период уменьшается во столько же раз.
Например, y = f(3x) будет иметь период T = 3/3 = 1.
При делении аргумента период увеличивается во столько же раз.
Например, y = f(x/2) будет иметь период T = 3*2 = 6
P(5) = 32
Объяснение:
Многочлен 4 степени записывается так:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
В условии нам даны значения:
P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0
P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8
P(4) = a*4^4 + b*4^3 + c*4^2 + d*4 + e = 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0
Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.
Это значит, что в точках x = 1 и x = 4 он имеет минимумы, равные 0.
Берем производную P'(x):
P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 4:
P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0
P'(4) = 4a*4^3 + 3b*4^2 + 2c*4 + d = 256a + 48b + 8c + d = 0
Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8 (2)
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0 (3)
{ 4a + 3b + 2c + d = 0 (4)
{ 256a + 48b + 8c + d = 0 (5)
Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (3).
Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8 (2)
{ 0a - 192b - 240c - 252d - 255e = 0 (3)
{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0 (4)
{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0 (5)
Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 3.
И перепишем уравнения немного в другом порядке:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8 (2)
{ 0a - 64b - 80c - 84d - 85e = 0 (3)
{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0 (5)
Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).
Умножаем (4) на 64 и складываем с (3).
Умножаем (4) на 208 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8 (2)
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 168c + 369d + 576e = 0 (5)
Делим (5) на 3:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8 (2)
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0 (5)
Умножаем (2) на -12, а (3) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 48c - 120d - 204e = -96
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (3)
Умножаем (2) на -14, а (5) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 56c - 140d - 238e = -112 (2)
{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0 (5)
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Последний шаг. Умножаем (4) на -17, а (5) умножаем на 12:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c + 204d + 561e = 1632 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 204d - 552e = -1344 (5)
И складываем (4) и (5):
9e = 288
e = 288 : 9 = 32
Подставляем в (4):
0a + 0b + 0c - 12d - 33*32 = -96 (4)
-12d = 33*32 - 96 = 960
d = -960/12 = -80
Подставляем в (3):
0a + 0b + 4c + 10(-80) + 17*32 = 8 (3)
4с = 80*10 - 17*32 + 8 = 800 - 544 + 8 = 264
c = 264/4 = 66
Подставляем в (2):
0a + b + 2*66 + 3(-80) + 4*32 = 0 (2)
b = -132 + 240 - 128 = -20
Подставляем в (1):
a - 20 + 66 - 80 + 32 = 0 (1)
a = 20 - 66 + 80 - 32 = 2
Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:
P(x) = 2x^4 - 20x^3 + 66x^2 - 80x + 32
И, наконец-то, находим P(5):
P(5) = 2*5^4 - 20*5^3 + 66*5^2 - 80*5 + 32 =
= 2*625 - 20*125 + 66*25 - 400 + 32 =
= 1250 - 2500 + 1650 - 400 + 32 = 32
График этого многочлена на рисунке.
Известно, что функция y = f(x) имеет период T = 3.
Найти периоды разных функций.
От того, что вы прибавите или отнимите число от значения функции, ее период не изменится.
Просто график передвинется вверх или вниз по оси Oy. Поэтому:
1) y = f(x) + 5. Период T = 3
2) y = f(x) - 3. Период T = 3
От того, что вы умножите значение функции на число, изменится не период, а амплитуда, то есть максимальные и минимальные значения функции. Поэтому:
3) y = 2f(x). Период T = 3
И, наконец, от того, что вы поменяете знак функции, период тоже не поменяется. Просто график перевернется. Поэтому:
4) y = -f(x). Период T = 3
Чтобы период изменился, нужно умножать или делить x, а не f(x).
При умножении аргумента период уменьшается во столько же раз.
Например, y = f(3x) будет иметь период T = 3/3 = 1.
При делении аргумента период увеличивается во столько же раз.
Например, y = f(x/2) будет иметь период T = 3*2 = 6