получаются 2 интервала (слева и справа от -1). Берем пробную точку, например 0 (она находится правее чем -1), подставляем в нашу производную f'(x)=4x³+4
f'(0)=4*0³+4=4
получили положительное число (то есть со знаком +), значит правый промежуток с плюсом.
Теперь берем любую точку левее -1, например -2
f'(-2)=4*(-2)³+4=4*(-8)+4=-28 - отрицательное число, значит левый промежуток с минусом, то есть
[-1]>ₓ
Там где производная отрицательна - функция убывает.
Где производная положительна - функция возрастает.
x=-1 - точка минимума (так как до нее функция убывала, а после нее начала возрастать)
///
ответ 2:
Функция f(x) убывает на всё промежутке х ∈ (-∞; +∞)
X²+7x+12=(x+4)(x+3) x1+x2=-7 U x1*x2=12⇒x1=-4 u x2=-3 x²+6x+8=(x+4)(x+2) x1+x2=-6 U x1*x2=8⇒x1=-4 U x2=-2 x²+8x+15=(x+5)(x+3) x1+x2=-8 U x1*x2=15⇒x1=-5 U x2=-3 x²+7x+10=(x+5)(x+2) x1+x2=-7 U x1*x2=10⇒x1=-5 U x2=-2 x²+6x+9=(x+3)²
(x+4)(x+3)²/[(x+4)(x+2)]+(x+5)(x+3)²/[(x+5)(x+2)] -(x+1)²(x+3)²≤0 (x+3)²/(x+2)+(x+3)²/(x+2) -(x+1)²(x+3)²≤0,x≠-4 U x≠-5 2(x+3)²/(x+2)-(x+1)²(x+3)²≤0 (x+3)²(2-(x+2)(x+1)²)/(x+2)≤0 (x+3)²(2-x³-2x²-2x²-4x-x-2)/(x+2)≤0 (x+3)²(-x³-4x²-5x)/(x+2)≤0 (x+3)²*x*(x²+4x+5)/(x+2)≥0 x²+4x+5>0 при любом х,т.к.D<0⇒ (x+3)²*x/(x+2)≥0 x=-3 x=0 x=-2 + + _ + [-3](-2)[0] x∈(-∞;-5) U (-5;-4) U (-4;-2) U [0;∞)
ответ 1:
Функция возрастает на интервале (-1; +∞)
Убывает на (-∞; -1)
Объяснение 1:
через производную:
f'(x)=4x³+4
приравниваем производную к нулю и ищем корни
4x³+4=0
4x³=-4
x³=-1
x=-1 - корень
отмечаем полученные корни на числовой прямой:
[-1]>ₓ
получаются 2 интервала (слева и справа от -1). Берем пробную точку, например 0 (она находится правее чем -1), подставляем в нашу производную f'(x)=4x³+4
f'(0)=4*0³+4=4
получили положительное число (то есть со знаком +), значит правый промежуток с плюсом.
Теперь берем любую точку левее -1, например -2
f'(-2)=4*(-2)³+4=4*(-8)+4=-28 - отрицательное число, значит левый промежуток с минусом, то есть
[-1]>ₓ
Там где производная отрицательна - функция убывает.
Где производная положительна - функция возрастает.
x=-1 - точка минимума (так как до нее функция убывала, а после нее начала возрастать)
///
ответ 2:
Функция f(x) убывает на всё промежутке х ∈ (-∞; +∞)
Объяснение 2:
f(x) = 8 - 4x - x³
Функция определена при х ∈ (-∞; +∞)
Пусть х₂ > x₁
f(x₁) = 8 - 4x₁ - x₁³
f(x₂) = 8 - 4x₂ - x₂³
f(x₂) - f(x₁) = 8 - 4x₂ - x₂³ - (8 - 4x₁ - x₁³) = -4(x₂ - x₁) - (x₂³ - x₁³)
Поскольку х₂ > x₁ , то (x₂ - x₁) > 0 и (x₂³ - x₁³) > 0, тогда
f(x₂) - f(x₁) < 0 , то есть функция f(x) убывает
на всём промежутке х ∈ (-∞; +∞)
x1+x2=-7 U x1*x2=12⇒x1=-4 u x2=-3
x²+6x+8=(x+4)(x+2)
x1+x2=-6 U x1*x2=8⇒x1=-4 U x2=-2
x²+8x+15=(x+5)(x+3)
x1+x2=-8 U x1*x2=15⇒x1=-5 U x2=-3
x²+7x+10=(x+5)(x+2)
x1+x2=-7 U x1*x2=10⇒x1=-5 U x2=-2
x²+6x+9=(x+3)²
(x+4)(x+3)²/[(x+4)(x+2)]+(x+5)(x+3)²/[(x+5)(x+2)] -(x+1)²(x+3)²≤0
(x+3)²/(x+2)+(x+3)²/(x+2) -(x+1)²(x+3)²≤0,x≠-4 U x≠-5
2(x+3)²/(x+2)-(x+1)²(x+3)²≤0
(x+3)²(2-(x+2)(x+1)²)/(x+2)≤0
(x+3)²(2-x³-2x²-2x²-4x-x-2)/(x+2)≤0
(x+3)²(-x³-4x²-5x)/(x+2)≤0
(x+3)²*x*(x²+4x+5)/(x+2)≥0
x²+4x+5>0 при любом х,т.к.D<0⇒
(x+3)²*x/(x+2)≥0
x=-3 x=0 x=-2
+ + _ +
[-3](-2)[0]
x∈(-∞;-5) U (-5;-4) U (-4;-2) U [0;∞)