Вычислите предел числовой последовательности

 ОДЗ:  система:   -11tgx ≥ 0

                               x∋ (-π/2 + πn; π/2 + πn) 

 Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует. 

                                                                                            2cos²x  -  cosx = 0

    ⇒    (2cos²x  -  cosx)√(-11tgx) = 0   ⇔   система:  

                                                                                             -11tgx = 0 

 Решим первое уравнение системы:                                   

   2cos²x  -  cosx = 0  ⇔ cosx (2cosx - 1) = 0    ⇔  система:    cosx = 0              ⇔  cosx = 0     ⇔    

                                                                                                          2cosx - 1 = 0            cosx = 1/2

  система:  x = π/2 + πn, n∋Z 

                     x  = ±π/3 + 2πn, n∋Z.   

  решим второе уравнение системы:    

    -11tgx = 0   ⇔   tgx = 0   ⇒   x = πn, n ∈Z.   

    x =   π/2 + πn, n∋Z   - не удовлетворяет ОДЗ:    x∋ (-π/2 + πn; π/2 + πn) .  

                                   ⇒                                                      ответ:   ±π/3 + 2πn, n∋Z.;   πn, n ∈Z.  

ответ:     хЄ (- ∞ ; 1 ] .

Объяснение:

( x - 1 )| x² + 1 | + | x - 1 |(  x² + 1 ) = 0 ;

( x - 1 )( x² + 1 ) + | x - 1 |(  x² + 1 ) = 0 ;

( x² + 1 )( x - 1 + | x - 1 | ) = 0 ;

x² + 1 ≠ 0      або    x - 1 + | x - 1 |  = 0 ;  

розв"язуємо останнє рівняння :

| x - 1 |  = - х + 1 ;

вираз під модулем дорівнює  0  при  х = 1 .

1) х ≤ 1  , тоді  - ( x - 1 ) = - ( x - 1 ) ;  правильна рівність при хЄ (- ∞ ; 1 ] ;

2) x > 1 , тоді   x - 1 = - х + 1 ;  > 2x = 2 ;  > x = 1 ∉ ( 1 ; + ∞ ) .

В - дь :    хЄ (- ∞ ; 1 ] .